§3#1## 3. Ad prop. XIV Ἄλλως τὸ ιδ΄.
## 3. 命題14への別証。
Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔκθεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας.
そして、この提示は前者のものよりも明白である。
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΗΘ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΚΛ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ, καὶ ἔστωο ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Λ, Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Κ, Β, ζῳδιακοῦ ὁδὲ θέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἰ ΝΞ, ΟΠ. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Ο Π περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Π μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε·
宇宙において地平線をΑΒΓとし、常に現れているもののうち最大のものをΑ∠Ε、常に隠れているもののうち最大のものをΗΘとし、夏の回帰線をΚΛ、冬の回帰線をΒΓとし、円ΑΒΓの極が円Α∠Ε, ΚΛの間にあるとし、また、東の部分をΛ, Γとし、西の部分をΚ, Βとし、黄道帯については、蟹座の後の半円の位置を、ΝΞ, ΟΠとせよ。 そして、半円よりも大きくない弧ΟΠが切り取られているとし、点Πを通って、Α∠Εに接する大円が描かれているとせよ。
ἐφάψεται ἄρα καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Ο σημεῖον.
したがって、それは ΖΗΘにも接するであろう。 それは点Οを通るか、あるいは点Οを越えるであろう。
γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΠ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ξ, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α, Κ, Ρ μέρη, καὶ προςαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΞΝ Ϛ, ΠΟΡ κύκλοι.
［大円が］描かれており、それをΕΘΠとせよ。 ただし、Εからの半円でΕ, Ξ, Πの部分に向かうものが、Αからの半円でΑ, Κ, Ρの部分に向かうものと交わらないように。 そして、円ΞΝϚ, ΠΟΡがさらに補完されているとせよ。
ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους οἱ Ϛ ΝΣ, ΡΟ ΤΠ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ περιφερειῶν, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΝΥ περιφέρεια τῆς ΥΤ περιφερείας·
球において大円は ΑΒΓであり、2つの大円ϚΝΣ, ΡΟΤΠが互いに交差しており、かつ円ΑΒΓの極が弧Α∠Ε, ΚΛの間にあるので、したがって、弧ΣΝΥは弧ΥΤよりも大きい。
ἡ ΤΥ ἄρα περιφέρεια τῆς ΥΝΣ ἐλάσσων ἐστίν.
したがって、弧ΤΥ は［弧］ΥΝΣよりも小さい。
καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφάπτονται τοῦ Α∠Ε καὶ τῷ Α∠Ε παράλληλον ὄντα τὸν ΚΛ τέμνουσι καί ἔστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ὁ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων.
また、球において2つの大円ΑΒΓ, ΕΘΠが同じ円Α∠Εに接しており、かつΑ∠Εに平行であるΚΛを交差しており、かつΑΒΓの極が円Α∠Ε, ΚΛの間にあるので、したがって、ΕΘΠの極もまた円Α∠Ε, ΚΛの間にある。
ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὑ τῶν ΗΖΘ, ΒΓ κύκλων.
したがって、それのもう一方の極は、円ΗΖΘ, ΒΓの間にある。
ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘ Π καὶ τὸν ΕΘΠ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΡΟ Π, Ϛ ΝΞ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΕΘ Π πόλος μεταξὺ τῶν ΒΓ, ΗΘΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΠΥ περιφέρεια τῆς ΥΝΞ περιφερείας, ὧν ἡ ΥΤ τῆς ΥΝΣ ἐλάσσσων ἐστίν·
それゆえ、球において大円はΕΘΠであり、ΕΘΠを2つの大円ΡΟΠ, ϚΝΞが交差しており、かつΕΘΠの極が［円］ΒΓ, ΗΘΖの間にあるので、弧ΠΥは弧ΥΝΞよりも大きく、これらのうちΥΤはΥΝΣよりも小さい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ λοιπῆς τῆς ΣΞ μείζων ἐστίν.
したがって、残りのΤΠは残りのΣΞよりも大きい。
κείσθω τῇ ΣΞ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΤΧ καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ξ σημεῖα, οἱ ΞΨ, ΩϚ·
弧ΣΞに等しい弧ΤΧが置かれているとし、［点］Ξがその上を動いていく平行円であるΞΨ, ΩϚが描かれているとせよ。
ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ξ Ψ περιφέρεια τῇ Ω Ϛ περιφερείᾳ ἡ Ξ Ψ ἄρα τῆς Χ Ϛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία·
したがって、弧ΞΨは弧ΩϚに相似である。 したがって、弧ΞΨはΧϚよりも大きいか、または相似である。
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Ξ Ψ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν Χ Ϛ. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ξ σημεῖον τὴν ΞΨ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἔν ᾧ ἡ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
それゆえ、より長い時間において、点［Ξ］は弧ΞΨを通過し、それは［点］Χが［弧］ΧϚを通過するよりも長い。 ところで、点 Ξが弧ΞΨを通過する時間は、弧ΣΞが目に見える半球から去る時間である。
ὁ δὲ χρόνος, ἔν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν ΧϚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΤΧ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
また、点Χが弧ΧϚを通過する時間は、弧ΤΧが目に見える半球から去る時間である。
ἔν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΣΞ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ. καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.
したがって、より長い時間において、［弧］ΣΞは目に見える半球から去り、それは［弧］ΤΧが去るよりも長い。 そして、［弧］ΣΞは［弧］ΤΧよりも夏の回帰線に近い。 したがって、より夏の回帰線に近い［弧］は、より遠い［弧］よりも、より長い時間において目に見える半球から去るのである。