パイノメナ（b版別証明）

黄道帯の対角にある2点の出没に関する証明

幾何学的手法と背理法を用いて、黄道帯の円上の対角にある2点について、一方の点が昇るときに他方の点が沈むことを証明する。

黄道の各弧が没する時間の長短の幾何学的証明

オートリュコス『昇沈について』の命題12について、より分かりやすい別の証明を提示する。天球上の地平圏、夏至・冬至圏、赤道、黄道帯を設定し、黄道の各弧が沈む時間の長さの比較（至点に近いほど長く、赤道に近いほど短いこと）を、常顕圏に接する大円を用いて幾何学的に証明する。

黄道の等弧の没時間と至点および赤道との関係

黄道上の等しい各弧が地平線下に沈む時間を球面幾何学的に比較し、夏至圏に近い弧ほど沈む時間が長く、赤道から等距離にある弧は等しい時間で昇沈することを証明する。

夏至圏に近い黄道弧の沈降時間に関する別証

命題14に対する別のより明白な証明を提示する。天球上の地平線や各種の平行円（常顕円、常隠円、回帰線）の配置を設定し、幾何学的な比較を通じて、夏の回帰線（夏至圏）に近い弧の方が、より遠い弧よりも長い時間で可視半球から外へ去る（沈む）ことを示す。

山羊座以後の半円における等弧の沈降時間

山羊座の後の半円においても等しい弧が目に見える半球を去る時間は等しくなく、夏の回帰線に近いものがより長くかかることを、平行円の作図と共通時間の加算を用いて証明する。

黄道帯の対向する等弧の出没時間に関する別証

黄道帯の円のうち、等しくかつ天球の反対側にある2つの弧において、一方が可視半球を去る時間と、他方が不可視半球を去る時間が等しいことを幾何学的に別証明する。