§3#1## 3.
## 3.
Ad prop. XIV Ἄλλως τὸ ιδ΄.
명제 14에 대한 다른 증명.
Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔκθεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας.
그리고 이 설명은 이전의 것보다 더 명백하다.
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΗΘ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΚΛ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ, καὶ ἔστωο ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Λ, Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Κ, Β, ζῳδιακοῦ ὁδὲ θέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἰ ΝΞ, ΟΠ. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Ο Π περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Π μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε·
우주에서 지평선을 ΑΒΓ라 하고, 항상 보이는 원들 중 가장 큰 것을 Α∠Ε, 항상 보이지 않는 원들 중 가장 큰 것을 ΗΘ라 하며, 하지권을 ΚΛ, 동지권을 ΒΓ라 하고, 원 ΑΒΓ의 극이 원 Α∠Ε, ΚΛ 사이에 있도록 하며, 동쪽 부분을 Λ, Γ, 서쪽 부분을 Κ, Β라 하고, 황도대에 대해서는 게자리 다음의 반원의 위치들을 ΝΞ, ΟΠ라 하자. 그리고 반원보다 크지 않은 호 ΟΠ가 잘려 있다고 하고, Π를 지나 Α∠Ε에 접하는 대원이 그려지도록 하자.
ἐφάψεται ἄρα καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Ο σημεῖον.
그러면 그것은 ΖΗΘ에도 접할 것이다. 그것은 점 Ο를 지나거나 혹은 점 Ο를 넘어설 것이다.
γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΠ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ξ, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α, Κ, Ρ μέρη, καὶ προςαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΞΝ Ϛ, ΠΟΡ κύκλοι.
그것이 그려져서 ΕΘΠ라 하자. 다만 Ε로부터 Ε, Ξ, Π 부분을 향하는 반원이 Α로부터 Α, Κ, Ρ 부분을 향하는 반원과 만나지 않도록 하고, 원 ΞΝϚ, ΠΟΡ가 더욱 보완되도록 하자.
ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους οἱ Ϛ ΝΣ, ΡΟ ΤΠ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ περιφερειῶν, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΝΥ περιφέρεια τῆς ΥΤ περιφερείας·
구에서 대원이 ΑΒΓ이고 두 대원 ϚΝΣ, ΡΟΤΠ가 서로 교차하며 원 ΑΒΓ의 극이 호 Α∠Ε, ΚΛ 사이에 있으므로, 따라서 호 ΣΝΥ는 호 ΥΤ보다 크다.
ἡ ΤΥ ἄρα περιφέρεια τῆς ΥΝΣ ἐλάσσων ἐστίν.
그러므로 호 ΤΥ 는 [호] ΥΝΣ보다 작다.
καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφάπτονται τοῦ Α∠Ε καὶ τῷ Α∠Ε παράλληλον ὄντα τὸν ΚΛ τέμνουσι καί ἔστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ὁ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων.
또한 구에서 두 대원 ΑΒΓ, ΕΘΠ가 같은 원 Α∠Ε에 접하고 Α∠Ε에 평행한 ΚΛ과 교차하며 ΑΒΓ의 극이 원 Α∠Ε, ΚΛ 사이에 있으므로, 따라서 ΕΘΠ의 극 역시 원 Α∠Ε, ΚΛ 사이에 있다.
ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὑ τῶν ΗΖΘ, ΒΓ κύκλων.
그러므로 그것의 다른 극은 원 ΗΖΘ, ΒΓ 사이에 있다.
ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘ Π καὶ τὸν ΕΘΠ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΡΟ Π, Ϛ ΝΞ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΕΘ Π πόλος μεταξὺ τῶν ΒΓ, ΗΘΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΠΥ περιφέρεια τῆς ΥΝΞ περιφερείας, ὧν ἡ ΥΤ τῆς ΥΝΣ ἐλάσσσων ἐστίν·
그러므로 구에서 대원이 ΕΘΠ이고 두 대원 ΡΟΠ, ϚΝΞ가 ΕΘΠ와 교차하며 ΕΘΠ의 극이 [원] ΒΓ, ΗΘΖ 사이에 있으므로, 호 ΠΥ는 호 ΥΝΞ보다 크며, 이들 중 ΥΤ는 ΥΝΣ보다 작다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ λοιπῆς τῆς ΣΞ μείζων ἐστίν.
따라서 남은 ΤΠ는 남은 ΣΞ보다 크다.
κείσθω τῇ ΣΞ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΤΧ καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ξ σημεῖα, οἱ ΞΨ, ΩϚ·
호 ΣΞ와 같은 호 ΤΧ가 놓여 있다고 하고, 점 Ξ들이 움직여 가는 평행원들인 ΞΨ, ΩϚ가 그려지도록 하자.
ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ξ Ψ περιφέρεια τῇ Ω Ϛ περιφερείᾳ ἡ Ξ Ψ ἄρα τῆς Χ Ϛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία·
그러므로 호 ΞΨ는 호 ΩϚ와 닮음이다. 그러므로 호 ΞΨ는 ΧϚ보다 크거나 닮음이다.
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Ξ Ψ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν Χ Ϛ. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ξ σημεῖον τὴν ΞΨ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἔν ᾧ ἡ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
그러므로 더 긴 시간 동안 점 [Ξ]는 호 ΞΨ를 지나가며, 이는 점 Χ가 [호] ΧϚ를 지나가는 시간보다 길다. 그런데 점 Ξ가 호 ΞΨ를 지나가는 시간은 호 ΣΞ가 가시 반구를 벗어나는 시간이다.
ὁ δὲ χρόνος, ἔν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν ΧϚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΤΧ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
또한 점 Χ가 호 ΧϚ를 지나가는 시간은 호 ΤΧ가 가시 반구를 벗어나는 시간이다.
ἔν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΣΞ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ. καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.
그러므로 더 긴 시간 동안 ΣΞ가 가시 반구를 벗어나며, 이는 ΤΧ가 벗어나는 시간보다 길다. 그리고 ΣΞ는 ΤΧ보다 하지권에 더 가깝다. 그러므로 하지권에 더 가까운 [호]는 더 먼 것보다 더 긴 시간 동안 가시 반구를 벗어난다.