§3#1## 3. Ad prop. XIV Ἄλλως τὸ ιδ΄.
## 3. 命题十四的别证。
Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔκθεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας.
而这个说明比前一个更为清楚。
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΗΘ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΚΛ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ, καὶ ἔστωο ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Λ, Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Κ, Β, ζῳδιακοῦ ὁδὲ θέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἰ ΝΞ, ΟΠ. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Ο Π περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Π μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε· ἐφάψεται ἄρα καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Ο σημεῖον.
设宇宙中的地平圈为 ΑΒΓ，恒显圈中最大者为 Α∠Ε，恒隐圈中最大者为 ΗΘ，夏至圈为 ΚΛ，冬至圈为 ΒΓ，且设圆 ΑΒΓ 的极在圆 Α∠Ε、ΚΛ 之间，并设东面为 Λ、Γ，西面为 Κ、Β，又设黄道带中巨蟹座之后的半圆位置为 ΝΞ、ΟΠ。 且截取不大于半圆的弧 ΟΠ，并通过 Π 画出一切于 Α∠Ε 的大圆；因此它亦将切于 ΖΗΘ。 它要么通过点 Ο，要么越过点 Ο。
γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΠ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ξ, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α, Κ, Ρ μέρη, καὶ προςαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΞΝ Ϛ, ΠΟΡ κύκλοι.
设它已被画出且为 ΕΘΠ，使得从 Ε 朝向 Ε、Ξ、Π 方向的半圆与从 Α 朝向 Α、Κ、Ρ 方向的半圆不相交，并使圆 ΞΝϚ、 ΠΟΡ 进一步被补全。
ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους οἱ Ϛ ΝΣ, ΡΟ ΤΠ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ περιφερειῶν, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΝΥ περιφέρεια τῆς ΥΤ περιφερείας· ἡ ΤΥ ἄρα περιφέρεια τῆς ΥΝΣ ἐλάσσων ἐστίν.
由于在球体中，大圆是 ΑΒΓ，且两个大圆 ϚΝΣ、ΡΟΤΠ 相互交错，并且圆 ΑΒΓ 的极在弧 Α∠Ε、ΚΛ 之间，因此弧 ΣΝΥ 大于弧 ΥΤ；因此弧 ΤΥ 小于 ΥΝΣ。
καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφάπτονται τοῦ Α∠Ε καὶ τῷ Α∠Ε παράλληλον ὄντα τὸν ΚΛ τέμνουσι καί ἔστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ὁ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων.
又由于在球体中，两个大圆 ΑΒΓ、ΕΘΠ 切于同一个圆 Α∠Ε，并且与 Α∠Ε 平行的 ΚΛ 相交，且 ΑΒΓ 的极在圆 Α∠Ε、ΚΛ 之间，因此 ΕΘΠ 的极亦在圆 Α∠Ε、ΚΛ 之间。
ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὑ τῶν ΗΖΘ, ΒΓ κύκλων.
因此它的另一个极在圆 ΗΖΘ、ΒΓ 之间。
ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘ Π καὶ τὸν ΕΘΠ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΡΟ Π, Ϛ ΝΞ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΕΘ Π πόλος μεταξὺ τῶν ΒΓ, ΗΘΖ, μείζων ἐστὶν ἡ ΠΥ περιφέρεια τῆς ΥΝΞ περιφερείας, ὧν ἡ ΥΤ τῆς ΥΝΣ ἐλάσσσων ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ λοιπῆς τῆς ΣΞ μείζων ἐστίν.
因此，由于在球体中大圆是 ΕΘΠ，且两个大圆 ΡΟΠ、ϚΝΞ 与 ΕΘΠ 相交，且 ΕΘΠ 的极在 [圆] ΒΓ、ΗΘΖ 之间，弧 ΠΥ 大于弧 ΥΝΞ，其中 ΥΤ 小于 ΥΝΣ；因此，剩余的 ΤΠ 大于剩余的 ΣΞ。
κείσθω τῇ ΣΞ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΤΧ καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ξ σημεῖα, οἱ ΞΨ, ΩϚ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ξ Ψ περιφέρεια τῇ Ω Ϛ περιφερείᾳ ἡ Ξ Ψ ἄρα τῆς Χ Ϛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία·
设弧 ΤΧ 等于弧 ΣΞ，并画出点 Ξ 所运行于其上的平行圆 ΞΨ、ΩϚ；因此，弧 ΞΨ 相似于弧 ΩϚ；因此，弧 ΞΨ 大于或相似于 ΧϚ；因此，点 [Ξ] 运行过弧 ΞΨ 的时间，长于点 Χ [运行过] ΧϚ 的时间。
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Ξ Ψ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν Χ Ϛ. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ξ σημεῖον τὴν ΞΨ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἔν ᾧ ἡ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ὁ δὲ χρόνος, ἔν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν ΧϚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΤΧ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
但是，点 Ξ 运行过弧 ΞΨ 的时间，是弧 ΣΞ 离开显半球的时间；而点 Χ 运行过弧 ΧϚ 的时间，是［弧］ ΤΧ 离开显半球的时间；因此，在较长的时间内，ΣΞ 离开显半球，长于 ΤΧ。
ἔν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΣΞ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ. καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.
并且 ΣΞ 比 ΤΧ 更接近夏至圈。 因此，较接近夏至圈的 [弧]，比较远者在更长的时间内离开显半球。