§3## γ΄. Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας.
## 3. どのような鏡に対しても、入射する視線が不等な角度を作るならば、それはそれ自身の上にも、より小さな角度の側へも反射されないであろう。
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν.
平面鏡を AKHG とし、視線 BK が [角] Θ, Λ よりも大きな角度 Z を作って入射したとせよ。 私は、反射された BK は、それ自身の上にも、角度 Θ, Λ の側へも反射されないと言う。
εἰ μὲν γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον·
なぜなら、もし B に戻るならば、角度 Z は Θ, Λ に等しくなるが、これは不条理である。
ὑπόκειται γὰρ μείζων.
なぜなら、より大きいと仮定されているからである。
εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠, ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων.
また、もし ∠ を通るならば、角度 Z は Θ に等しくなるが、実際にはより大きい。
ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ·
したがって、BK はより大きな角度 Z の側へと反射されるであろう。
δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι.
なぜなら、より大きなものからより小さなものに等しいものを切り取ることが可能だからである。
ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.
同じ証明は、凸面鏡および凹面鏡に対しても成り立つ。
§4## δ΄. Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται.
## 4. 視線は、平面鏡および凸面鏡において反射されるとき、互いに交わることもなく、平行になることもないであろう。
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ Γ∠, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
平面鏡を AC、目を B、反射される視線を BCD, BAE とせよ。 私は、GD と AE は平行でもなく、 D, E の側で交わることもないと言う。 なぜなら、角度 [Z] は Θ に等しく、K は M に等しく、そして Z は三角形 BAG において外角であるために K よりも大きいので、Θ も M よりも大きいであろう。 したがって、GD は AE と平行ではなく、また E, D の側で交わることもない。
ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠, ΒΗΕ. λέγω, ὅτι αἱ Ζ∠, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
再び、凸面鏡を AZG、目を B、反射される視線を BZD, BHE とせよ。 私は、ZD と EH は平行でもなく、 E, D の側で交わることもないと言う。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα.
なぜなら、直線 HZ が結ばれ、両側に延長されたとせよ。
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων·
等しい角度で反射されることにより、[角] K, Θ は Λ に等しいので、Λ, M は K よりも大きいであろう。
αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο, Π·
そして、K は N, Ξ よりも大きく、 N, Ξ は O, Π よりも大きい（なぜなら、Ξ 自体が O, Π に等しいからである）。
μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν.
したがって、Λ, M は O, Π よりも大きい。 ゆえに、Λ, M は O よりもはるかに大きい。
οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.
したがって、直線 ZD, HE は交わることもなく、平行もない。
§5## ε΄. Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.
## 5. 凹面鏡において、もし目を中心の上、あるいは周の上、あるいは周の外側、すなわち中心と周の間に置くならば、反射される視線は互いに交わるであろう。
ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠.
凹面鏡を AGD とし、球の中心を B とせよ。 そして目を B の上に置き、B から周に向けて視線 BA, BG, BD が入射するとせよ。
ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α, ∠, Γ γωνίαι·
したがって、点 A, D, G における角度は等しい。
ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν.
なぜなら、半円の角だからである。
αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται.
ゆえに、反射される視線 BA, BG, BD はそれ自身の上へと反射されるであろう。 なぜなら、このことは証明されているからである。
ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β.
ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε σημεῖα.
したがって、それらは B において交わるであろう。 再び、凹面鏡を AGB、目を B とし、その周の上に置かれたとせよ。 そして B から視線 BG, BA が入射し、点 D, E へと反射されるとせよ。
ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας.
線分 AGB は線分 BG よりも大きいので、角度 Z は角度 [Θ] よりも大きい。
καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων.
したがって、 [角度 Λ] も K よりも大きい。
αἱ ἄρα Ζ, τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν.
それゆえ、角度 Z, [Λ] は Θ, K よりも大きい。
λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων·
したがって、残りの Λ は M よりも小さい。
πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.
ゆえに、N よりもはるかに小さい。 したがって、GD, AE は X において交わるであろう。 目が周の外側に位置する場合も、次の定理のように同様に証明されるであろう。