§3## γ΄.
## 3.
Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας.
어떤 거울에든 입사하는 시선이 서로 다른 각을 이룬다면, 그것은 자기 자신을 따라 반사되지도 않고, 더 작은 각의 쪽으로 반사되지도 않을 것이다.
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν.
평면거울을 AKHG라 하고, 시선 BK가 [각] Θ, Λ보다 더 큰 각 Z를 이루며 입사했다고 하자. 나는 반사된 BK가 자기 자신 위로도 반사되지 않고, 각 Θ, Λ의 쪽으로도 반사되지 않는다고 말한다.
εἰ μὲν γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον·
왜냐하면 만약 B로 돌아온다면 각 Z는 Θ, Λ와 같아지게 되는데, 이는 불합리하다.
ὑπόκειται γὰρ μείζων.
왜냐하면 더 크다고 가정되었기 때문이다.
εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠, ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων.
반면 만약 ∠를 거쳐간다면 각 Z는 Θ와 같아지게 되지만, 실제로는 더 크다.
ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ·
그러므로 BK는 더 큰 각 Z의 쪽으로 반사될 것이다.
δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι.
왜냐하면 더 큰 것에서 더 작은 것과 같은 것을 잘라내는 것이 가능하기 때문이다.
ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.
동일한 증명이 볼록거울과 오목거울에도 성립한다.
§4## δ΄.
## 4.
Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται.
평면거울과 볼록거울에서 시선은 반사될 때 서로 만나지도 않고 평행하지도 않을 것이다.
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ Γ∠, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
평면거울을 AC, 눈을 B, 반사되는 시선을 BCD, BAE라 하자. 나는 GD와 AE가 평행하지도 않고, D, E의 쪽으로 만나지도 않을 것이라고 말한다. 왜냐하면 각 [Z]가 Θ와 같고, K가 M과 같으며, Z는 삼각형 BAG에서 외각이 되므로 K보다 크기 때문에, Θ 역시 M보다 클 것이기 때문이다. 그러므로 GD는 AE와 평행하지 않으며, E, D의 쪽으로 만나지도 않는다.
ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠, ΒΗΕ. λέγω, ὅτι αἱ Ζ∠, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
다시 볼록거울을 AZG, 눈을 B, 반사되는 시선을 BZD, BHE라 하자. 나는 ZD와 EH가 평행하지도 않고, E, D의 쪽으로 만나지도 않을 것이라고 말한다.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα.
왜냐하면 직선 HZ가 연결되고 양쪽으로 연장되었다고 하자.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων· αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο, Π·
동일한 각도로 반사됨으로써 [각] K, Θ가 Λ와 같으므로, Λ, M은 K보다 클 것이다. 그리고 K는 N, Ξ보다 크고, N, Ξ는 O, Π보다 크다(왜냐하면 Ξ 자체가 O, Π와 같기 때문이다).
μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν.
그러므로 Λ, M은 O, Π보다 크다. 따라서 Λ, M은 O보다 훨씬 더 크다.
οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.
그러므로 직선 ZD, HE는 만나지도 않고 평행하지도 않다.
§5## ε΄.
## 5.
Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.
오목거울에서 만약 눈을 중심 위에 놓거나, 원주 위에 놓거나, 원주 밖에 놓는다면, 즉 중심과 원주 사이에 놓는다면, 반사되는 시선들은 서로 만날 것이다.
ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠.
오목거울을 AGD라 하고, 구의 중심을 B라 하며, 눈이 B 위에 놓였다고 하자. 그리고 B로부터 원주를 향해 시선 BA, BG, BD가 입사한다고 하자.
ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α, ∠, Γ γωνίαι·
그러므로 점 A, D, G에서의 각들은 같다.
ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν.
왜냐하면 반원의 각이기 때문이다.
αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται.
그러므로 반사된 시선 BA, BG, BD는 자기 자신을 따라 반사될 것이다. 왜냐하면 이것은 증명되었기 때문이다.
ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β.
ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε σημεῖα.
따라서 그것들은 B에서 만날 것이다. 다시 오목거울을 AGB, 눈을 B라 하고, 그것이 원주 위에 놓였다고 하자. 그리고 B로부터 시선 BG, BA가 입사하여 점 D, E로 반사된다고 하자.
ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας.
원호 AGB가 원호 BG보다 크므로, 각 Z는 각 [Θ]보다 크다.
καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων.
그러므로 [각 Λ] 역시 K보다 크다.
αἱ ἄρα Ζ, τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν.
그러므로 각 Z, [Λ]는 Θ, K보다 크다.
λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων·
그러므로 남은 Λ는 M보다 작다.
πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.
따라서 N보다 훨씬 더 작다. 그러므로 GD, AE는 X에서 만날 것이다. 눈이 원주 밖에 위치하는 경우에도 다음 정리에서와 같이 동일하게 증명될 것이다.