§prΌψιν εἶναι εὐθεῖαν, ἧς τὰ μέσα πάντα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ.
視線とは、そのすべての中間部分が両端を遮蔽するような直線であること。
Τὰ ὁρώμενα ἅπαντα καθʼ εὐθείας ὁρᾶσθαι.
見られるすべてのものは、直線に沿って見られること。
Ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ θεωρουμένου τινὸς ὕψους, ὃ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ἐπιπέδῳ, γίγνονται ἀνάλογον, ὡς ἡ μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ θεωροῦντος εὐθεῖα πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς ὕψους, οὕτω τὸ τοῦ θεωροῦντος ὕψος πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ὕψος.
鏡が平面の上に置かれ、その平面に対して垂直であるところのある高さが観察されるとき、鏡と観察者の間の直線が鏡と垂直な高さの間の直線に対する比は、観察者の高さが平面に対して垂直な高さに対する比に等しくなること。
Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τοῦ τόπου καταληφθέντος, ἐφʼ ὃν ἡ κάθετος πίπτει ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον.
平面鏡において、見られるものから垂線が落ちる場所が遮られると、見られるものはもはや見えなくなること。
Καὶ ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις καταληφθέντος τοῦ τόπου, διʼ οὗ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον ἄγεται τῆς σφαίρας, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον.
また凸面鏡において、見られるものから球の中心へと（線が）引かれる場所が遮られると、見られるものはもはや見えなくなること。
τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐν τοῖς κοίλοις συμβαίνει.
同じことが凹面鏡においても起こること。
Ἐὰν εἰς ἀγγεῖον ἐμβληθῇ τι καὶ λάβῃ ἀπόστημα ὡς μηκέτι ὁρᾶσθαι, τοῦ αὐτοῦ ἀποστήματος ὄντος ἐὰν ὕδωρ ἐγχυθῇ, ὀφθήσεται τὸ ἐμβληθέν.
もしある物が容器に入れられ、もはや見えなくなるような距離に置かれたとき、その距離が同じであっても、水が注ぎ込まれるならば、中に入れられた物が見えるようになること。
§1## α΄. Ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται.
## 1. 平面鏡、凸面鏡、および凹面鏡から、視線は等しい角度で反射される。
ἔστω ὄμμα τὸ Β, ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ. ὄψις δʼ ἀπὸ τοῦ ὄμματος φερέσθω ἡ ΒΚ καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ ∠.
目を B、平面鏡を AC とせよ。 目からの視線 BK が進み、∠ へと反射されるとせよ。
φημὶ δὴ τὴν Ε γωνίαν ἴσην εἶναι τῇ Ζ. ἤχθωσαν κάθετοι ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον αἱ ΒΓ, ∠Α. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ∠Α πρὸς ΑΚ·
私は、角度 E は角度 Z に等しいと主張する。 鏡に対して垂線 BC, ∠A が引かれたとせよ。 それゆえ、 BC の CK に対する比は、∠A の AK に対する比に等しい。
τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς ὅροις ὑπέκειτο·
なぜなら、このことは定義において前提されていたからである。
ὅμοιον ἄρα τὸ ΒΓΚ τρί γωνον τῷ ∠ΑΚ τριγώνῳ.
したがって、三角形 BCK は三角形 ∠AK と相似である。
ἴση ἄρα ἡ Ε γωνία τῇ γωνίᾳ·
ゆえに、角度 E は角度 [Z] に等しい。
τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἰσογώνιά ἐστιν.
なぜなら、相似な三角形は等角であるからである。
ἔστω δὴ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠.
次に、凸面鏡を AKG とし、視線 BK が ∠ へと反射されるとせよ。
λέγω, ὅτι ἴδη ἐστὶν ἡ Ε, Θ γωνία τῇ Ζ, Λ. παρέθηκα ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΝΜ·
私は、角度 E, Θ は角度 Z, Λ に等しいと言う。 平面鏡 NM をあてがう。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Ζ. ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ·
したがって、角度 E は角度 Z に等しい。 しかしまた、角度 Θ も Λ に等しい。
ἐφάπτεται γὰρ ἡ ΜΝ. ὅλη ἄρα ἡ Ε, Θ ὅλῃ τῇ Λ, Ζ ἐστιν ἴση.
なぜなら、MN は接しているからである。 ゆえに、全体の E, Θ は全体の Λ, Z に等しい。
ἔστω δὴ πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠.
さらにまた、凹面鏡を AKG とし、視線は BK で ∠ へと反射されるとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ Ε γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ζ. παρατεθέντος γὰρ ἐπιπέδου ἐνόπτρου ἴση γίγνεται ἡ Θ, Ε γωνία τῇ Ζ, Λ· ἴση δὲ καὶ ἡ Θ τῇ Λ·
私は、角度 E は角度 Z に等しいと言う。 なぜなら、平面鏡をあてがうと、角度 Θ, E は角度 Z, Λ に等しくなり、また角度 Θ も Λ に等しいからである。
λοιπὴ ἄρα ἡ Ε τῇ Ζ ἴση ἔσται.
したがって、残りの E は Z に等しくなる。
§2## β΄. Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπέσῃ ὄψις ἴσας ποιοῦσα γωνίας, αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται.
## 2. どのような鏡に対しても、視線が等しい角度を作って入射するならば、それはそれ自身の上に反射されるであろう。
ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπεπτωκέτω ἴσας ποιοῦσα γωνίας τὴν Ε, Ζ τῇ Θ. λέγω, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ ΒΚ ἐφʼ ἑαυτῆς ἥξει, τουτέστιν ἐπὶ τὸ Β. μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἡκέτω ἐπὶ τὸ ∠.
平面鏡を AC、目を B とし、視線 BK が、[角] E, Z と [角] Θ が等しくなるような等しい角度を作って入射したとせよ。 私は、反射された BK はそれ自身の上に戻る、すなわち B へと戻る、と言う。 そうではないとせよ。 可能であるならば、∠ へと戻るとせよ。
καὶ ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις ἀνακλῶνται γωνίαις, ἴση ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Θ, ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Ε, Ζ γωνία τῇ Θ ἴση.
そして、視線は等しい角度で反射されるのであるから、角度 E は Θ に等しい。 しかし、角度 E, Z も Θ に等しいと示されていた。
καὶ ἡ Ε, Ζ ἄρα γωνία τῇ Ε γωνίᾳ ἔσται ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι·
したがって、角度 E, Z も角度 E に等しくなることになり、大きいものが小さいものに等しくなる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
ἡ ἄρα ΒΚ διʼ αὑτῆς ἀνακλασθήσεται.
ゆえに、BK はそれ自身の上に反射される。
ἡ δʼ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσειεν ἂν ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ τῶν κοίλων ἐνόπτρων.
同じ証明は凸面鏡および凹面鏡に対しても適合するであろう。