§3## γ΄. Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας.
## 3. 无论视线入射到何种镜子上并产生不相等的角度，它都既不沿自身反射，也不向较小角的一侧反射。
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν.
设平面镜为 AKHG，且设视线 BK 入射并产生角度 Z 大于 Θ、Λ。 我说，反射的 BK 既不沿自身反射，也不向角度 Θ、Λ 的一侧反射。
εἰ μὲν γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ μείζων.
因为如果它回到 B，角度 Z 将等于 Θ、Λ；这是荒谬的；因为已假定它较大。
εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠, ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων.
但如果它通过 ∠，则角度 Z 将等于 Θ；但它较大。
ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι.
因此，BK 将向较大角 Z 的一侧反射；因为可以从较大者中减去一个与较小者相等的部分。
ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.
同样的证明也适用于凸面镜和凹面镜。
§4## δ΄. Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται.
## 4. 视线在平面镜和凸面镜上反射时，既不相交，也不平行。
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ Γ∠, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
设平面镜为 AC，眼睛为 B，反射的视为 BCD、BAE。 我说，GD、AE 既不平行，也不会在 D、E 的方向相交。 因为由于角度 [Z] 等于 Θ，且 K 等于 M，又因为 Z 是三角形 BAG 的外角而大于 K，所以 Θ 也将大于 M。 因此，GD 与 AE 不平行，也不会在 E、D 的方向相交。
ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠, ΒΗΕ. λέγω, ὅτι αἱ Ζ∠, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, ∠.
再设凸面镜为 AZG，眼睛为 B，反射的视线为 BZD、BHE。 我说，ZD、EH 既不平行，也不会在 E、D 的方向相交。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα.
因为设连接直线 HZ 并向两侧延长。
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων· αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο, Π·
由于以相等角度反射，K、Θ 等于 Λ，所以 Λ、M 将大于 K。 而 K 大于 N、Ξ，且 N、Ξ 大于 O、Π（因为 Ξ 自身等于 O、Π）；因此，Λ、M 大于 O、Π。
μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν.
所以 Λ、M 远大于 O。
οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.
因此，直线 ZD、HE 既不相交，也不平行。
§5## ε΄. Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.
## 5. 在凹面镜中，如果将眼睛置于中心上、或周上、或周的外侧（即中心与周之间），反射的视线都将相交。
ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠.
设凹面镜为 AGD，球的中心为 B，且将眼睛置于 B，并从 B 向周入射视线 BA、BG、BD。
ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α, ∠, Γ γωνίαι· ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν.
因此在点 A、D、G 处的角度相等；因为它们是半圆的角。
αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται.
因此反射的视线 BA、BG、BD 将沿自身反射；因为这已被证明。
ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β.
ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε σημεῖα.
所以它们将在 B 点相交。 再设凹面镜为 AGB，眼睛为 B，且置于其周上，并从 B 入射视线 BG、BA，且反射到点 D、E。
ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας.
由于圆弧 AGB 大于圆弧 BG，角度 Z 大于角度 [Θ]。
καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων.
因此， [角度 Λ] 也大于 K。
αἱ ἄρα Ζ, τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν.
因此，角度 Z、[Λ] 大于 Θ、K。
λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων·
因此，剩余的 Λ 小于 M；所以远小于 N。
πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.
因此，GD、AE 将在 X 点相交。 如果眼睛位于周的外侧，也将同样予以证明，如在下一定理中。