§15## ιε΄. Ἔστι δὲ καὶ διὰ κυρτῶν ἐνόπτρων καὶ διὰ κοίλων ἰδεῖν τὸ αὐτό.
## 15. また、凸面鏡を通じても凹面鏡を通じても同じものを見ることが可能である。
ἔστω γάρ, δεῖ ἰδεῖν, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ὁμοίως ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε καὶ πρὸς τοῖς Γ, ∠, Ε σημείοις ἔστω ἔνοπτρα ἐπίπεδα, ἀφʼ ὧν ὁρᾶται τὸ Α, καθάπερ δέδεικται, καὶ προσκείσθω τούτοις κοῖλα ἢ κυρτὰ ἒνοπτρα κατὰ τὰς ἁφὰς τῶν ὄψεων.
なぜなら、見られるべきものを A、目を B とし、同様に、等辺かつ等角の多角形 ABGDE を描け。 そして、点 G, D, E において平面鏡を配置せよ、それらから A が見られる（既に示されたように）。 そして、これらに凹面鏡または凸面鏡を視線の接点において接するように置け。
οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ζ τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Λ ὅλη ἄρα ἡ ΚΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΛ. ἀνακλασθήσεται ἄρα ἡ ὄψις ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τοῦ Γ ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Ε καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Α. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ κυρτῶν ἢ κοίλων ὄντων ἀπάντων καὶ ἀναμεμιγμένων ἔστιν ἰδεῖν τὸ αὐτό.
そこで、角 Z は Th に等しく、角 K は L に等しい。 したがって、角 KZ 全体は角 ThL に等しい。 それゆえ、視線は G の凸面鏡から D へ、D から E へ、そして E から A へと反射されるであろう。 したがって、すべてが凸面鏡または凹面鏡である場合でも、またそれらが混ざり合っている場合でも、同じものを見ることが可能であることは明らかである。
§16## ις΄. Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου κάθετον ὁρᾶται.
## 16. 平面鏡においては、見られるものの各々は、見られるものから下ろした垂線に沿って見られる。
ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ Γ∠, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ Α, καὶ ἔστω κάθετος ἡ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον ἡ ΑΓ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ Γ οὐχ ὁρᾶται τὸ Α, τὸ Α ἄρα ὀφθήσεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ. ἀλλὰ δὴ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ Β∠ ὄψει·
平面鏡を GD、目を B、見られるものを A とせよ。 そして見られるものから鏡へと下ろした垂線を AG とせよ。 そこで、仮定（現象）において、点 G が覆われると A は見えなくなるとされているので、A は AG と一直線の延長線上に見えることになる。 しかし確かに、視線 BD とも一直線上にある。
κατὰ τὸ Ε ἄρα·
したがって、点 E において見える。
ὑπέκειτο γὰρ ἡμῖν τὸ εὐθύ, οὗ τὸ μέσον τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ·
なぜなら、我々にとって「直線とは、その中間が両端を遮るものである」と仮定されていたからである。
ὥστε εὐθεῖα ἔσται ἡ ΑΕ καὶ ἡ ΒΕ.
したがって、AE も BE も直線となるであろう。
§17## ιζ΄. Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.
## 17. 凸面鏡においては、見られるものの各々は、見られるものから球の中心へと結ばれた直線に沿って見られる。
ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ Γ∠, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Α, καὶ ὁράσθω τὸ Α, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ Γ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὀφθήσεται ἄρα ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ κατὰ τὴν σύμβασιν τῆς Β∠ ὄψεως καὶ τῆς ΑΓ ἐπὶ τοῦ Ε, καθάπερ ἐπὶ τοῖς ἐπιπέδοις.
凸面鏡を GD、目を B、反射して見られるもの A に向かう視線を BD とせよ。 そして A が見られているとせよ。 また球の中心を Z とせよ。 そして、AZ を結び、視線 BD を E へと延長せよ。 そこで、仮定において、点 G が覆われると A は見えなくなるとされているので、それゆえ、平面鏡の場合と同様に、E における視線 BD と直線 AG の交点において、AG と一直線上に A は見えるであろう。
§18## ιη΄. Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.
## 18. 凹面鏡においては、見られるものの各々は、見られるものから球の中心へと結ばれた直線に沿って見られる。
ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ Γ∠, ὄψις δὲ ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Α ὁρώμενον, τῆς δὲ σφαίρας κέντρον ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθω εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω.
凹面鏡を GD、見られるもの A に向かって反射される視線を BG とせよ。 また球の中心を E とせよ。 そして、A から E へ直線が結ばれ、かつ延長されているとせよ。
οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ ∠ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὥστε φαίνεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΕ, ὀφθήσεται ἄρα κατὰ τὴν συμβολὴν τῆς Α∠ εὐθείας καὶ τῆς ΒΓ ὄψεως κατὰ τὸ Ζ.
そこで、仮定において、点 D の場所が覆われると A は見えなくなるとされているので、それゆえ、AE と一直線上に見える。 したがって、直線 AD と視線 BG の Z における交点において見えるであろう。