§13## ιγ΄. Δυνατόν ἐστι διὰ πλειόνων ἐνόπτρων ἐπιπέδων ἰδεῖν τὸ αὐτό.
## 13. 複数の平面鏡を通じて同じものを見ることが可能である。
ἔστω, ὃ δεῖ ὀφθῆναι, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρα δὲ τρία τὰ Γ∠, ∠Ε, ΕΖ. ἤχθω δὴ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ∠ ἔνοπτρον ἡ ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ. καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ΕΖ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ∠Ε ἔνοπτρον κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Σ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜΞΣ, ἀπὸ δὲ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΜΡΘ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΑΡ, ΒΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Γ γωνίαι, δύο δὴ αἰ ΒΓ, ΓΦ δυσὶ ταῖς ΣΓ, ΓΦ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΦ ὀρθὴ οὖσα γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Σῶ ὀρθῇ οὔσῃ ἴση ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν πρὸς τῷ Β γωνία τῇ πρὸς τῷ Σ, ἡ δὲ γωνία τῇ Τ. ἀλλʼ ἡ Τ τῇ Ν ἐστιν ἴση·
見られるべきものを A、目を B、3つの鏡を GD, DE, EZ とせよ。 そこで、B から鏡 GD へ垂線 BG を引き、BG と GS を等しくせよ。 また再び、A から鏡 EZ へ垂線 AZ を引き、AZ と ZTh を等しくせよ。 そして Th から鏡 DE へ垂線 ThK を引き、ThK と KL を等しくせよ。 そして L から S へ直線 LMXS を結べ。 また M から Th へ直線 MRTh を結べ。 そして AR, BX も結べ。 さて、BG は GS に等しく、G における角は直角であるから、2本の線 BG, GF は、SG, GF の 2本の線にそれぞれ等しい。 そして、直角である角 BGF は、直角である角 S... に等しい。 また、等しい辺が対向する残りの角も、残りの角にそれぞれ等しくなる。 すなわち、B における角は S における角に等しく、[GFB]の角は T に等しい。
κατὰ κορυφὴν γάρ·
しかし T は N に等しい（対頂角だからである）。
ὥστε ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Ν γωνία τῇ Ξ. ἡ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὸ Μ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ Κ Λ, καὶ ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τῷ Κ, ἴση ἐστὶν ἡ Ο γωνία τῇ Π. ἀνακλᾶται ἄρα ἡ.
したがって、角 N も X に等しい。 それゆえ、視線 BX は M へ反射される。 再び、ThK は KL に等しく、K における角も直角であるから、角 O は角 P に等しい。
αὐτὴ ὄψις ἡ ΒΞΜ ἐπὶ τὸ Ρ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τὸ Α διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΡΑ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΡΜ ὁμοίως ταῖς λοιπαῖς ἀποδείξεσιν.
それゆえ、同じ視線 BXM は R へ反射され、全く同じ理由により、角 ZRA が角 ERM に等しいことから A へも反射される。 これは他の証明と同様である。
ὁρᾷ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις τὸ Α διὰ τῶν τριῶν ἐνόπτρων ὄντων ἐπιπέδων τῶν Γ∠, ∠Ε, ΕΖ.
したがって、目 B からの視線は、3つの平面鏡である GD, DE, EZ を通じて A を見る。
§14## ιδ΄. Ἔστι δὲ καί, διʼ ὅσων ἄν τις ἐπιτάξῃ ἐνόπτρων ἐπιπέδων, ἰδεῖν τὸ αὐτό·
## 14. また、命じられる任意の数の平面鏡を通じて、同じものを見ることも可能である。
δεῖ δὲ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐνόπτρων πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον συνίστασθαι δυσὶ πλείους ἔχον πλευρὰς τῶν ἐνόπτρων.
そのためには、鏡の数に応じて、鏡の数より2つ多くの辺を持つ、等辺かつ等角の多角形が構成されなければならない。
ἔστω γάρ, ὃ μὲν ὀφθῆναι δεῖ, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον δύο πλευρὰς, πλείους ἔχον τῶν ἐνόπτρων καὶ ἔστω τὸ ΑΒ∠ πολυγώνιον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ γραφομένου περὶ τὸ πολύγωνον τὸ Θ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΘΕ, Θ∠, ΘΒ, ΘΑ ἐπὶ τὰς γωνίας, καὶ προσκείσθωσαν ἔνοπτρα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ταῖς ἐπεζευγμέναις.
なぜなら、見られるべきものを A、目を B とし、AB を結べ。 そして AB の上に、鏡の数より2つ多くの辺を持つ等辺かつ等角の多角形を描き、これを多角形 ABD... とせよ。 そして、多角形に外接する円の中心 Th を取れ。 そして、そこから頂点へ向けて ThG, ThE, ThD, ThB, ThA を結べ。 そして、これらの結ばれた線に対して垂直に、平面鏡を配置せよ。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Ζ Λ γωνία τῇ ΝΚ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα·
さて、角 Z, L は角 N, K に等しい。 それぞれ直角だからである。
ὧν ἡ Ν τῇ Λ ἴση ἐστίν, λοιπὴ ἄρα ἡ Ζ τῇ Κ ἴση ἐστίν.
それらのうち、N は L に等しいので、残りの Z は K に等しい。
ὥστε ἡ ἀνάκλασις τῆς ΒΓ ὄψεως ἐπὶ τὸ ∠ ἔσται·
したがって、視線 BG の D への反射が起こる。
διὰ γὰρ ἴσων γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίνονται.
反射は等しい角を通じて行われるからである。
ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ πρὸς τοῖς ∠, Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς ἐνόπτροις.
同様に、点 D, E において鏡に対する角も等しいことが示されるだろう。
ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις ἀνακλωμένη καὶ προσπεσοῦσα πρὸς πάντα τὰ ἔνοπτρα ἥξει ἐπὶ τὸ Α.
それゆえ、目 B からの視線は反射され、すべての鏡に当たって A に達するであろう。