§19## ιθ΄. Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἴσον τῷ ὁρωμένῳ, καὶ τὸ ἀπόστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἴσον ἐστίν.
## 19. 平面鏡においては、右は左に見え、左は右に見える。 そして、像は実物と等しく、鏡からの距離も等しい。
ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, ∠, ὁρώμενον δὲ ἔστω τὸ Ε ∠, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, ∠ ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ε Ζ, ∠Θ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΓ, ΒΑ ὄψεις καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς καθέτοις κατὰ τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΚ. οὐκοῦν φαίνεται τὸ μὲν Ε ἐπὶ τοῦ Κ, τὸ δὲ ∠ ἐπὶ τοῦ Λ·
平面鏡を AG、目を B とせよ。 そして反射して E, D に向かう視線を BA, BG とせよ。 また、見られるものを ED とせよ。 そして E, D から鏡へと垂線 EZ, DTh を引き、かつそれらを延長せよ。 また視線 BG, BA も延長し、それらが垂線と点 K, L において交わるようにせよ。 そして LK を結べ。 そこで、E は K の位置に見え、D は L の位置に見える。
τοῦτο γὰρ προεδείχθη.
なぜなら、このことは前に示されたからである。
τὰ ἄρα ἀριστερ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά.
したがって、左は右に見え、右は左に見える。
καὶ ἐπεὶ ἴσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΙΕ, κ εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ, ἴση ἂν εἴη καὶ ἡ ΖΚ τ ΖΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Θ τῇ ΘΑ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπόστημα, ὃ ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ε∠, τῷ, ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ Κ Λ. καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠ τῷ εἰδώλῳ τῷ Κ Λ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΖ τῇ ΖΚ, τὴν δὲ ∠Θ τῇ ΘΛ, κοινὴν δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΖ.
そして、角 KGZ は角 ZGE に等しく、かつ Z における角は直角であるので、ZK も ZE に等しいであろう。 同じ理由により、DTh も ThL に等しい。 したがって、実物 ED が鏡から離れている距離は、像 KL が離れている距離と等しい。 そして、見られるもの ED は像 KL と等しい。 なぜなら、EZ は ZK に等しく、DTh は ThL に等しく、かつ ThZ は共通で直角をなしているからである。
§20## κ΄. Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά, καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει.
## 20. 凸面鏡においては、左は右に見え右は左に見える。 そして、像は鏡からの距離がより小さい。
ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεῖς δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε, ὁρώμενον δὲ τὸ ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ ∠, Ε αἱ Θ∠, ΘΕ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον.
凸面鏡を AG、球の中心を Th、目を B とせよ。 そして反射して D, E に向かう視線を BA, BG とせよ。 また見られるものを DE とし、中心 Th から D, E へ ThD, ThE を引き、視線を Z, H へと延長せよ。 そして像 ZH を結べ。
οὐκοῦν τὸ μὲν ∠ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ. τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά.
そこで、D は H の位置に、 E は Z の位置に見える。 したがって、右は左に見え、左は右に見える。
λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΡΑΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἐφάπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία.
私は、EL は LZ より大きいと主張する。 なぜなら、A を通って円周に接する RAK を引け。 したがって、BA, AE は反射のために円周に対して等しい角を作るので、 KAP が接していることから、角 EAZ は二等分されるであろう。
καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία·
そして角 K は鈍角である。
μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠.
それゆえ EK は KZ より大きく、したがって EL は LZ よりはるかに大きい。 それゆえ、像 ZH が鏡から離れている距離はより小さく、見られるもの ED が離れている距離はより大きい。
§21## κα΄. Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων.
## 21. 凸面鏡においては、像は見られるものより小さい。
ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ ἐπὶ τὰ ∠, Ε. οὐκοῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α, Γ. οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ·
なぜなら、凸面鏡を AOG、目を B とし、反射して D, E に向かう視線を BA, BG とせよ。 そこで、凸面鏡から ED は角 ABG のもとで見られる。 さて、視線に A, G において接する平面鏡 AG を並べて置け。 そこで、平面鏡から E を見るはずの視線は BAE ではない。
οὐ γὰρ ποιεῖ γωνίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ.
なぜなら、それは平面鏡と等しい角を作らないからである。
οὐδὲ μὴν κλασθήσεται μεταξὺ τῶν Α, Γ. κεκλάσθω γάρ, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις.
また、A と G の間でも反射されないであろう。 なぜなら、可能ならば反射されるとし、それを視線 BZE とせよ。
ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν.
すると、反射のために角 H は角 Th に等しい。
ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ, ἡ δὲ Μ τῆς Η·
しかし Th は NI より大きく、M は H より大きい。
ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν·
したがって M も NI より大きいが、これは不可能である。
ὅπερ ἀδύνατον. αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν·
なぜなら、I 自体が M より大きいからである。
ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ.
実際、それは円周における全体と等しい。
ἐκτὸς ἄρα ἀνακλασθήσεται τοῦ Α. κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛ∠ πεσεῖται ἐκτός.
それゆえ、A の外側で反射されるであろう。 反射されるとし、それを BKE とせよ。 同様に BLD も外側に落ちるであろう。
τὸ ἄρα Ε∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ.
したがって、ED は凸面鏡からよりも、平面鏡からの方が、KBL に囲まれたより大きな角のもとで見られる。
ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ.
しかし、平面鏡において見えるものは等しいと示された。
φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου.
したがって、凸面鏡から見える像は、見られるものより小さいことは明らかである。