§6## ς΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, τραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, τὸν λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου εὑρεῖν.
## ς΄. もし半円において、直径上に任意の点があり、直径の分節から内側に2つの半円が描かれ、アルベロスの中に3つの半円に接する円が描かれるならば、与えられた半円の直径の、内接された円の直径に対する比を求めること。
ΑΒΓ, σαμεῖον δὲ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ △ καὶ πεποιήσθω οὕτως, ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ Α△ ἐλάσσονος τοῦ △Γ ἁμιόλιον εἶμεν, καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν Α△, △Β ἀναγεγράφθων ἁμικύκλια, γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλω κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, καὶ ἄχθω διάμετρος αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ. Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΒ·
ΑΒΓ［があり］、直径上の任意の点を Δ とする。 そして、より大きい分節 ΑΔ が、より小さい分節 ΔΓ の1.5倍であるように作られているとし、分節 ΑΔ, ΔΒ から半円が内側に描かれているとし、アルベロスの中に3つの半円に接する円 ΕΖ が描かれているとし、その直径 ΕΖ が ΑΓ に平行に引かれているとする。 直径 ΑΓ の、直径 ΕΖ に対する比を求めること。 直線 ΑΕ, ΕΒ および ΓΖ, ΖΒ が結ばれたとせよ。
εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ, ΓΒ, ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη.
直線 ΑΒ, ΓΒ は、先に示されたように［一直線をなす］直線である。
Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ, ΕΘΓ δείκνυνται δὴ αὗται εὐθεῖαι οὖσαι ἔτι δὲ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ε, △Ζ, καὶ αἱ △Ι, △Λ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ, ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο, Ρ σαμεῖα.
さらに ΖΗΑ, ΕΘΓ が結ばれたとせよ。 これらは直線であることが示される。 さらに ΔΕ, ΔΖ および ΔΙ, ΔΛ が結ばれたとせよ。 そして、結ばれた ΕΜ, ΖΝ は点 Ο, Ρ まで延長されよ。
Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕ△ ἁ ΑΗ τᾷ Ε△ ποτʼ ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἁ △Ι τᾷ ΑΕ, τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον, ἁ ΕΜΟ τᾷ ΑΓ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο·
さて、三角形 ΑΕΔ において、ΑΗ は ΕΔ に垂直であり、ΔΙ は ΑΕ に垂直であって、これらは互いに点 Μ において交わっているから、ΕΜΟ は ΑΓ に垂直になるであろう。 これは我々によって『三角形について』において示され、また先に仮定された通りである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς·
同じ理由により、ΖΝΡ も ΓΑ に垂直になるであろう。
ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ △Λ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ △Ι παρὰ τὰν ΓΒ·
また、直線 ΔΛ は ΑΒ に平行であり、ΔΙ は ΓΒ に平行である。
ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Γ, ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ, τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν καὶ ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Α τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ, τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ·
したがって、 ΑΔ の ΔΓ に対する比は、ΑΜ の ΜΖ に対する比、すなわち ΑΟ の［ΟΡ］に対する比と同じであり、また ΓΔ の ΔΑ に対する比は、ΓΝ の ΝΕ に対する比、すなわち ΓΡ の ΡΟ に対する比と同じである。
ἦν δὲ ἁ Α△ ἁμιόλιος τᾶς △Γ·
そして ΑΔ は ΔΓ の1.5倍であった。
καὶ ἁ ΑΟ ἄρα τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος, καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ·
したがって、ΑΟ も ΟΡ の1.5倍であり、ΟΡ も ΓΡ の［1.5倍である］。
εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ ἑξῆς ἀνάλόγον ἐντι, ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα, ἁ δὲ ΟΡ ἕξ, ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα, ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα.
したがって、直線 ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ は相続く比例をなし、それらのうち、ΡΓ は4に等しく、ΟΡ は6に、ΑΟ は9に、ΓΑ は19に等しくなる。
Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ, ὃν ἔχει τὰ ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ·
そして、ΡΟ は ΕΖ に等しい。 したがって、ΑΓ の ΕΖ に対する比は、19の6に対する比と同じである。
καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ·
そして ΑΓ は半円 ΑΒΓ の直径であり、ΕΖ は円 ΕΒΖ の直径である。
εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος.
したがって、求められていた比が見出された。
Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπιμόριος ᾖ.
同様に、もし与えられた半円の直径の、内接された円の直径に対する比が、エピモリオス（n+1: n の比）であっても、示されるであろう。
§7## ζ΄. Ὁ τετραγώνῳ περιγεγραμμένος κύκλος διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστίν.
## ζ΄. 正方形に外接する円は、内接する円の2倍である。
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ Γ△, διάμετρος δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ Γ△ παρὰ τὰν ΑΕ·
正方形 ΑΒ の外側に円 ΑΒ があり、その中に内接する円 ΓΔ があるとせよ。 そして、外接円および正方形の直径（対角線）を［ΑΒ とし］、内接円の直径 ΓΔ が ΑΕ に平行に引かれているとせよ。
φαμὶ Et δή, ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων.
このとき、外接円は内接円の2倍であると私は主張する。
Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△, οἱ κύκλοι δὲ ἐντι ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίων·
さて、ΑΒ の上の正方形は ΑΕ の上の正方形、すなわち ΓΔ の上の正方形の2倍であるから、また円はそれらの直径の上の正方形の比にあるから、したがって外接円も内接円の2倍になるであろう。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。