§8## ή. Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ, ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον, ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν, διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον, ἐσσεῖται περιφέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων.
## ή. もし円において、ある直線 ΑΒ が［弦として］あてはめられており、それが点 Γ まで延長されて、直線 ΒΓ が半径に等しくなるようになっており、また、ある直線が Γ から円の中心を通って点 Ε まで引かれるならば、弧 ΑΕ は弧 ΒΖ の3倍になるであろう。
Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ △Β, △Η. Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓ△, Β△Γ, △ΕΗ, △ΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ Γ△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ △ΕΗ ἐστὶ διπλασίων, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Β△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ Β△Γ τριπλασίων.
実際、ΕΗ が ΑΒ に平行に引かれ、ΔΒ, ΔΗ が結ばれたとせよ。 さて、角 ΒΓΔ, ΒΔΓ, ΔΕΗ, ΔΗΕ は互いに等しく、また角 ΓΔΗ は角 ΔΕΗ の2倍であるから、したがって角 ΒΔΗ は角 ΒΔΓ の3倍になるであろう。
Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ, τουτέστιν ἁ ΑΕ, περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων·
したがって弧 ΒΗ、すなわち［弧］ ΑΕ は、弧 ΒΖ の3倍になるであろう。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。
§9## θ΄. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
## θ΄. もし円において、中心を通らない2つの直線が互いに直角に交わるならば、向かい合う2つの弧［の和］は、［他の］向かい合う2つの［弧の和］に等しい。
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθάς, μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι·
円 ΑΒΓ があり、中心を通らない2つの直線 ΑΒ, ΓΔ が互いに直角に交わっているとせよ。
φαμὶ δή, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ Α△, ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ταῖς ΑΓ, Β△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
このとき、向かい合う2つの弧 ΑΔ, ΓΒ ［の和］は、［他の］向かい合う2つの［弧］ ΑΓ, ΒΔ ［の和］に等しいと私は主張する。
Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ Γ△ κατὰ τὸ H σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ H διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ.
Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ, Α△ ἴσα ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ, ΕΑ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἴσαι·
実際、ΓΔ が点 Η において2等分され、Η を通って円の直径 ΕΖ が ΑΒ に平行に引かれたとせよ。 さて、弧 ΕΓ は弧 ΕΑ, ΑΔ ［の和］に等しいから、したがって弧 ΓΖ, ΕΑ, ΑΔ ［の和］は半円に等しくなるであろう。
ἔστι δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περιφερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα·
そして弧 ΕΑ は弧 ΒΖ に等しい。
συναμφότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα·
したがって、合わせて弧 ΓΒ, ΑΔ ［の和］は半円に等しい。
λοιπὴ ἄρα περιφέρεια ἁ ΑΓ, △Β ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、残りの弧 ΑΓ, ΔΒ ［の和］も半円に等しい。 したがって、提示されたことは示された。
§10## ι΄. Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ △Α, △Γ ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α, Γ σαμεῖα, τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ △Β, ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν Β△, ἐπιζευχθῇ δὲ ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν △Β κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ, ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει.
## ι΄. もし円があり、2つの直線 ΔΑ, ΔΓ が点 Α, Γ においてそれに接しており、また割線 ΔΒ があり、ΕΓ が ΒΔ に平行に引かれ、ΕΑ が結ばれて ΔΒ と点 Ζ において交わり、そして Ζ から ΕΓ に垂直に ΖΗ が引かれるならば、その引かれた［直線 ΖΗ］は ΕΓ を2等分する。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ △Α ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν, γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖ△, ἐστὶν ἴσα.
実際、ΑΓ が結ばれたとせよ。 さて、直線 ΔΑ は円の接線であり、ΑΓ はそれを切る線（弦）であるから、角 ΔΑΓ は、円の交互区分（交錯する弓形）における角 ΑΕΓ、すなわち［角］ ΑΖΔ に等しい。
Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν Β△.
実際、ΓΕ は ΒΔ に平行である。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς △ΑΖ, ΑΘ△ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΖ△, ΘΑ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ △ κοινά, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ△, △Θ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τᾶς △Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνῳ, ἐστὶν ἴσον ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν △Γ, τοῦτον ἔχει καὶ ἁ △Γ ποτὶ τὰν △Θ, γωνία δὲ ἁ ποτὶ τὸ △ σαμεῖον κοινά ἐστιν, τρίγωνα ἄρα τὰ △ΖΓ, △ΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΖΓ, △ΓΘ, △ΑΘ, ΑΖ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
そして、2つの三角形 ΔΑΖ, ΑΘΔ において、2つの角 ΑΖΔ, ΘΑΔ は互いに等しく、また Δ における角は共通であるから、したがって ΖΔ, ΔΘ によって囲まれる長方形は、ΔΑ の上の正方形、すなわち ΔΓ の上の正方形に等しい。 さて、裂かれた比において、ΖΔ の ΔΓ に対する比は、ΔΓ の ΔΘ に対する比と同じであり、また Δ 点における角は共通であるから、したがって三角形 ΔΖΓ, ΔΓΘ は相似であり、角 ΔΖΓ, ΔΓΘ, ΔΑΘ, ΑΖΔ は互いに等しい。
ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα·
また、角 ΔΖΓ は角 ΖΓΕ に等しい。
ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ △ΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα ἐν δυσὶ τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ, ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ, ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί·
そして角 ΔΖΑ も角 ΑΕΓ に等しかった。 したがって、2つの三角形 ΕΗΖ, ΓΗΖ において、2つの角 ΗΕΖ, ΗΓΖ は互いに等しく、また Η 点における角は直角である。
ἔστι ὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα·
そして辺 ΗΖ は共通である。 したがって、ΕΗ は ΗΓ に等しい。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。