§4## δ΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν· τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ ποτʼ ὀρθάς, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος.
## δ΄. もし半円において、直径上にある点があり、直径の分節から2つの半円が内側に描かれ、その取られた点から直径に垂直に円周に届く直線が立てられるならば、これら3つの円周によって囲まれた図形は、その立てられた垂線を直径とする円に等しい。
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ △, καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν Γ△, △Α ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ △ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ △Β φαμὶ δή, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον, τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμικυκλίου καὶ τῶν δύο ἀναγραφέντων ἐντός, ὅπερ Et ἄρβηλος καλείσθω, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἴσον ἐστίν.
半円 ΑΒΓ があり、直径 ΑΓ 上の点 Δ があるとし、直径 ΓΔ, ΔΑ から半円が内側に描かれているとする。 そして点 Δ から ΑΓ に垂直に ΔΒ が立てられているとする。 このとき、3つの円周に囲まれた図形、すなわち、より大きい半円と内側に描かれた2つの半円とに囲まれた図形（これはアルベロスと呼ばれよ）は、ΔΒ を直径とする円に等しいと私は主張する。
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ △Α, △Β, △Γ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι, ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ τῷ ἀπὸ τᾶς Β△ ἴσον·
なぜなら、直線 ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ は相続く比例をなすので、ΑΔ, ΔΓ による長方形は ΒΔ の上の正方形に等しい。
κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Α△, △Γ·
共通のものとして、ΑΔ, ΔΓ による長方形と、ΑΔ, ΔΓ の上の正方形が加えられよ。
τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ, τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν Α△, △Γ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐστὶν ἴσον.
したがって、全体（ΑΓ）の上の正方形は、分節 ΑΔ, ΔΓ の上の正方形と、ΒΔ の上の正方形の2倍との和に等しい。
Καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι, ἐσσεῖται δὴ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ, ἴσος, τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ·
そして、円は互いにそれらの直径の上の正方形の比にあるから、直径 ΑΓ の円は、直径 ΔΒ の2つの円と、直径 ΑΔ, ΔΓ の2つの円（の和）に等しい。 すなわち、半円 ΑΓ は、直径 ΔΒ の円と、直径 ΑΔ, ΔΓ の2つの半円（の和）に等しい。
κοινὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια τὰ Α△, △Γ·
共通のものとして半円 ΑΔ, ΔΓ が引かれよ。
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ, Α△, △Γ, ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἐστὶν ἴσον·
したがって、残りの円周 ΑΓ, ΑΔ, ΔΓ によって囲まれた領域（これはアルベロスと呼ばれる）は、直径 ΔΒ の円に等しい。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。
§5## ε΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ᾿ ὀρθάς, καὶ δύο κύκλοι γραφέωντι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων, οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἴσοι.
## ε΄. もし半円において、直径上に任意の点があり、直径の分節から内側に2つの半円が描かれ、その点から直径に垂直に直線が立てられ、立てられた直線の両側に2つの円が、それと半円（群）とに接するように描かれるならば、描かれた円は互いに等しい。
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Γ·
半円があり、その直径を ΑΒ、その上の任意の点を Γ とする。
ἀναγεγράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς διαμέτρω τᾷ ΑΒ ἁ Γ△, γεγράφθων δὲ δύο κύκλοι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων·
分節 ΑΓ, ΓΒ から内側に半円が描かれ、点 Γ から直径 ΑΒ に垂直に ΓΔ が立てられ、立てられた直線の両側に2つの円が、立てられた直線と半円（群）とに接するように描かれているとする。
φαμὶ δή, οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι ἀλλάλοις ἐντί.
このとき、描かれた円は互いに等しいと私は主張する。
Ἔστω γὰρ πρότερον κύκλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς Γ△ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ κατὰ τὸ H, ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ·
なぜなら、まず、点 Ε において ΓΔ に接し、半円 ΑΓ とは点 Η で、半円 ΑΒ とは点 Ζ で接する円があるとし、その円の直径を ΘΕ とせよ。
ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ, ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ △ σαμεῖον ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ, ΕΒ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, καὶ αἱ ΘΗ, ΗΓ, καὶ αἱ ΕΗ. ΗΑ, ἐκβεβλήσθω δὲ ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον, ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ Ζ△.
結ばれた直線 ΑΘ, ΘΖ は互いに一直線上にあり、延長された直線 ΑΖ, ΓΕ は点 Δ において交わるとせよ。 同様に、結ばれた ΖΕ, ΕΒ は互いに一直線上にあり、ΘΗ, ΗΓ も、また ΕΗ, ΗΑ も一直線上にある。 ΑΕ が点 Ι まで延長されよ、そして直線 ΒΙ と ΖΔ が引かれよ。
Ἐπεὶ οὖν αἱ Α△, ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται ποτʼ ὀρθὰς ἁ △Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτʼ ὀρθὰς τᾷ △Α ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν △Γ Bl, κατὰ τὸ Ε, εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ, Ι△ ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέδεικται Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Β△ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Θ, ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ, τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΘΕ ἐστὶν ἴσον·
さて、ΑΔ, ΑΒ は直線であり、点 Δ から ΑΒ に垂直に ΔΓ が引かれ、Β から ΔΑ に垂直に ΒΖ が引かれて ΔΓ を点 Ε において交差（Bl）しており、直線 ΑΕΙ は ΒΙ に垂直であるから、直線 ΒΙ, ΙΔ は互いに一直線上にある。 これは我々によって『直角三角形について』において示された通りである。 そして直線 ΒΔ は ΓΗ に平行であるから、ΑΔ の ΔΘ に対する比は、ΑΓ の ΘΕ に対する比、すなわち ΑΒ の ΒΓ に対する比と同じである。 したがって、ΑΓ, ΓΒ による長方形は、ΑΒ, ΘΕ による長方形に等しい。
ὅμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν·
同様にして、円 ΛΜΝ においても、ΑΓ, ΓΒ による長方形は、ΑΒ と円 ΛΜΝ の直径による長方形に等しいことを示す。
αἱ διάμετροι ἄρα κύκλων τῶν ἴσαι ἐντί, τουτέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι ἐντί·
したがって、それらの円の直径は等しい。 すなわち、2つの円は等しい。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。