底本
Archimedes. Archimède, Volume 3. Mugler, Charles, editor. Paris: Les Belles Lettres, 1971.
原文データ出典
Open Greek and Latin · CC BY-SA 4.0
元ファイル: urn:cts:greekLit:tlg0552.tlg011.1st1K-grc1
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翻訳と校閲
翻訳：Gemini 3.5 Flash（2026-05-22 公開）
AI校閲 2026-09-22：検出 Gemini 3.8 Flash／判定 Gemini 3.8 Flash・GPT-6 Astra — 日本語訳 4 件・原文 6 件を修正
AI校閲 2026-10-18：検出 Gemini 4 Argon／判定 Claude Opus 5.5 — 日本語訳の修正なし
反映した修正（日本語訳と原文）：AI校閲 10 件
最終更新：2026-10-10・変更履歴の一覧
要旨
本書は、円、弦、接線、およびそれらから構成される特殊な平面図形に関する15の命題と証明を収録した平面幾何学の古典的著作です。各命題は、幾何学的な図形の構成と定理の提示、そして厳密な証明の順で進められます。序盤では円や弦、垂線に関する基本的な相等関係を扱った後、中盤では「アルベロス（靴屋のナイフ）」と呼ばれる、半円の中に2つの半円を内接させた特異な図形の面積や、そこに内接する円の性質を証明します。後半では、円内の直交弦、接線と割線の幾何学的性質、そして3つの半円からなる「サリノン（塩入れ）」の面積に関する等価性を証明します。最終章では、半円に内接する正五角形の幾何学的性質から、線分が外中比（黄金比）に分割されるという系を導き出します。複雑な図形の面積や比の関係を巧妙な証明によって解き明かす、古代幾何学の精緻な論理を示す作品です。
目次
7 チャンク
引用方式：chapter
- §1-3
内接円の一直線性および弦と切線の相等命題
内接する2つの円における一直線上の直線に関する定理、半円の切線と垂線に関する線分の相等定理、および円弧と弦に関する線分の相等定理の3つの幾何学的命題とその証明。
- §4-5
アルベロスの面積と内接する双子の円の相等
第4命題では「アルベロス」と呼ばれる図形の面積が特定の円の面積に等しいことを示し、第5命題ではアルベロスに内接する2つの円が互いに等しいことを示す。
- §6-7
アルベロス内接円の直径比と正方形の外接円面積
6章では、与えられた半円から形成されるアルベロスに内接する円の直径の比を、分節の比（1.5倍）を基に求め、7章では正方形の外接円が内接円の2倍の面積を持つことを証明する。
- §8-10
延長弦による弧の3倍関係と直交弦が切り取る弧
第8章では円の外側に延長された弦と弧の3倍関係について、第9章では中心を通らず直交する2弦に切り取られる対弧の和の相等について、第10章では2つの接線と割線に囲まれた図形における垂線の2等分性質について証明する。
- §11-12
直交する弦の線分平方和と接線・弦の交点から下ろした垂線
§11 では、円内で中心を通らない2本の弦が直交するとき、それらの線分上の正方形の和が、直径上の正方形に等しいことを証明する。§12 では、半円の外の一点から引いた2本の接線と、接点から直径の両端へ結んだ2本の弦の交点について、外点と交点を結んで延長した直線が直径と直角に交わることを示す。
- §13-14
直径から割線への垂線と三日月形の求積
第13章では、円内の任意の割線に直径の両端から下ろした垂線によって切り取られる線分が等しいことを証明する。第14章では、直径上の対称な区分から作られる3つの半円によって形成される「三日月形（ルヌラ）」の面積が、特定の直径を持つ円の面積に等しいことを証明する。
- §15
正五角形の辺から導かれる半径と外中比
半円内の内接正五角形の一辺と関連する図形において、構成された直線 ΕΗ および △Ε が円の半径に等しいことを証明し、さらに線分 ΑΓ が点 △ において外中比（黄金比）に分割されるという系を導く。