§6## ς΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, τραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, τὸν λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου εὑρεῖν.
## ς΄. 如果半圆的直径上任意取一点，自该直径的各分段向内画两个半圆，且在鞋刀形中画一圆与这三个半圆相切，求已知半圆的直径与内切圆的直径之比。
ΑΒΓ, σαμεῖον δὲ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ △ καὶ πεποιήσθω οὕτως, ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ Α△ ἐλάσσονος τοῦ △Γ ἁμιόλιον εἶμεν, καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν Α△, △Β ἀναγεγράφθων ἁμικύκλια, γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλω κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, καὶ ἄχθω διάμετρος αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ. Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΒ· εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ, ΓΒ, ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη.
设有半圆 ΑΒΓ，其直径上有一点 Δ，且作如此构造，使得较大的分段 ΑΔ 是较小的分段 ΔΓ 的一点五倍，并自分段 ΑΔ, ΔΒ 向内画半圆，且在鞋刀形中画圆 ΕΖ 与这三个半圆相切，并作其直径 ΕΖ 平行于 ΑΓ。 求直径 ΑΓ 与直径 ΕΖ 之比。 连结直线 ΑΕ, ΕΒ 与 ΓΖ, ΖΒ；直线 ΑΒ, ΓΒ 确为直线，如前所示。
Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ, ΕΘΓ δείκνυνται δὴ αὗται εὐθεῖαι οὖσαι ἔτι δὲ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ε, △Ζ, καὶ αἱ △Ι, △Λ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ, ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο, Ρ σαμεῖα.
再连结 ΖΗΑ, ΕΘΓ，这些也被证明是直线。 再连结 ΔΕ, ΔΖ 与 ΔΙ, ΔΛ，并令连结的 ΕΜ, ΖΝ 延长至点 Ο, Ρ。
Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕ△ ἁ ΑΗ τᾷ Ε△ ποτʼ ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἁ △Ι τᾷ ΑΕ, τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον, ἁ ΕΜΟ τᾷ ΑΓ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς·
既然在三角形 ΑΕΔ 中，ΑΗ 垂直于 ΕΔ，且 ΔΙ 垂直于 ΑΕ，并于点 Μ 处相交，则 ΕΜΟ 将垂直于 ΑΓ，如我们在《论三角形》中所证明并在前文中假定的那样；由于同样的原因，ΖΝΡ 也将垂直于 ΓΑ。
ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ △Λ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ △Ι παρὰ τὰν ΓΒ· ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Γ, ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ, τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν καὶ ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Α τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ, τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ·
而直线 ΔΛ 平行于 ΑΒ，且 ΔΙ 平行于 ΓΒ；因此 ΑΔ 对 ΔΓ 的比，等于 ΑΜ 对 ΜΖ 的比，即 ΑΟ 对［ΟΡ］的比；且 ΓΔ 对 ΔΑ 的比，等于 ΓΝ 对 ΝΕ 的比，即 ΓΡ 对 ΡΟ 的比。
ἦν δὲ ἁ Α△ ἁμιόλιος τᾶς △Γ· καὶ ἁ ΑΟ ἄρα τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος, καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ·
而 ΑΔ 是 ΔΓ 的一点五倍；因此 ΑΟ 也是 ΟΡ 的一点五倍，且 ΟΡ 也是 ΓΡ 的［一点五倍］。
εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ ἑξῆς ἀνάλόγον ἐντι, ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα, ἁ δὲ ΟΡ ἕξ, ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα, ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα.
所以直线 ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ 连比例，其中 ΓΡ 等于四，ΟΡ 等于六，ΑΟ 等于九，ΓΑ 等于十九。
Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ, ὃν ἔχει τὰ ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ·
且 ΡΟ 等于 ΕΖ；因此 ΑΓ 对 ΕΖ 的比，等于十九对六的比。
καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ· εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος.
而 ΑΓ 是半円 ΑΒΓ 的直径，ΕΖ 是圆 ΕΒΖ 的直径；故所求之比已求得。
Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπιμόριος ᾖ.
同理，若已知半圆的直径与内切圆的直径之比为超倍比（n+1: n 的比），亦可得证。
§7## ζ΄. Ὁ τετραγώνῳ περιγεγραμμένος κύκλος διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστίν.
## ζ΄. 正方形的外接圆是内接圆的两倍。
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ Γ△, διάμετρος δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ Γ△ παρὰ τὰν ΑΕ·
设有圆 ΑΒ 外接于正方形 ΑΒ，且其内接圆为 ΓΔ，令外接圆与正方形的直径（对角线）［为 ΑΒ］，且内接圆的直径 ΓΔ 平行于 ΑΕ。
φαμὶ Et δή, ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων.
我断言，外接圆是内接圆的两倍。
Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△, οἱ κύκλοι δὲ ἐντι ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίων·
因为，既然 ΑΒ 上的正方形是 ΑΕ 上的正方形（即 ΓΔ 上的正方形）的两倍，且圆彼此之比等于其直径上的正方形之比，所以外接圆也将是内接圆的两倍。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。