§6## ς΄.
## ς΄.
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, τραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, τὸν λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου εὑρεῖν.
만약 반원에서 지름 위에 임의의 점이 있고, 지름의 분절들로부터 안쪽으로 두 반원이 그려지며, 아르벨로스 안에 세 반원과 접하는 원이 그려진다면, 주어진 반원의 지름의 내접된 원의 지름에 대한 비를 구하는 것.
ΑΒΓ, σαμεῖον δὲ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ △ καὶ πεποιήσθω οὕτως, ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ Α△ ἐλάσσονος τοῦ △Γ ἁμιόλιον εἶμεν, καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν Α△, △Β ἀναγεγράφθων ἁμικύκλια, γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλω κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, καὶ ἄχθω διάμετρος αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ. Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΒ·
반원 ΑΒΓ가 있고, 지름 위의 한 점을 Δ라 하자. 그리고 더 큰 분절 ΑΔ가 더 작은 분절 ΔΓ의 1.5배가 되도록 만들고, 분절 ΑΔ, ΔΒ로부터 반원들이 안쪽으로 그려져 있으며, 아르벨로스 안에 세 반원과 접하는 원 ΕΖ가 그려져 있고, 그 지름 ΕΖ가 ΑΓ에 평행하게 그어져 있다고 하자. 지름 ΑΓ의 지름 ΕΖ에 대한 비를 구하는 것. 직선 ΑΕ, ΕΒ와 ΓΖ, ΖΒ가 연결되었다고 하자.
εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ, ΓΒ, ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη.
직선 ΑΒ, ΓΒ는 앞서 증명된 바와 같이 실제로［일직선을 이루는］직선들이다.
Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ, ΕΘΓ δείκνυνται δὴ αὗται εὐθεῖαι οὖσαι ἔτι δὲ ἐπεζεύχθωσαν αἱ △Ε, △Ζ, καὶ αἱ △Ι, △Λ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ, ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο, Ρ σαμεῖα.
다시 ΖΗΑ, ΕΘΓ가 연결되었다고 하자. 이들도 직선임이 증명된다. 다시 ΔΕ, ΔΖ와 ΔΙ, ΔΛ이 연결되었다고 하자. 그리고 연결된 ΕΜ, ΖΝ은 점 Ο, Ρ까지 연장되도록 하자.
Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕ△ ἁ ΑΗ τᾷ Ε△ ποτʼ ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἁ △Ι τᾷ ΑΕ, τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον, ἁ ΕΜΟ τᾷ ΑΓ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο·
그렇다면 삼각형 ΑΕΔ에서 ΑΗ는 ΕΔ에 수직이고, ΔΙ는 ΑΕ에 수직이며, 이들은 점 Μ에서 서로 교차하므로, ΕΜΟ는 ΑΓ에 수직일 것이다. 이는 우리에 의해 『삼각형에 관하여』에서 증명되고 앞서 가정된 바와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς·
같은 이유로 ΖΝΡ 또한 ΓΑ에 수직일 것이다.
ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ △Λ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ △Ι παρὰ τὰν ΓΒ·
그리고 직선 ΔΛ은 ΑΒ에 평행하고, ΔΙ는 ΓΒ에 평행하다.
ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Γ, ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ, τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν καὶ ἁ Γ△ ποτὶ τὰν △Α τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ, τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ·
따라서 ΑΔ의 ΔΓ에 대한 비는 ΑΜ의 ΜΖ에 대한 비, 즉 ΑΟ의［ΟΡ］에 대한 비와 같고, ΓΔ의 ΔΑ에 대한 비는 ΓΝ의 ΝΕ에 대한 비, 즉 ΓΡ의 ΡΟ에 대한 비와 같다.
ἦν δὲ ἁ Α△ ἁμιόλιος τᾶς △Γ·
그런데 ΑΔ는 ΔΓ의 1.5배였다.
καὶ ἁ ΑΟ ἄρα τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος, καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ·
따라서 ΑΟ 또한 ΟΡ의 1.5배이고, ΟΡ도 ΓΡ의［1.5배이다］.
εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ ἑξῆς ἀνάλόγον ἐντι, ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα, ἁ δὲ ΟΡ ἕξ, ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα, ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα.
따라서 직선 ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ는 연속비례하며, 그중 정해진 값으로 ΡΓ는 4, ΟΡ는 6, ΑΟ는 9, ΓΑ는 19가 된다.
Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ, ὃν ἔχει τὰ ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ·
그리고 ΡΟ는 ΕΖ와 같다. 따라서 ΑΓ의 ΕΖ에 대한 비는 19의 6에 대한 비와 같다.
καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ·
그리고 ΑΓ는 반원 ΑΒΓ의 지름이고, ΕΖ는 원 ΕΒΖ의 지름이다.
εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος.
그러므로 구하고자 했던 비를 얻었다.
Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπιμόριος ᾖ.
마찬가지로, 주어진 반원의 지름의 내접된 원의 지름에 대한 비가 에피모리오스(n+1: n 의 비)인 경우에도 증명될 것이다.
§7## ζ΄.
## ζ΄.
Ὁ τετραγώνῳ περιγεγραμμένος κύκλος διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστίν.
정사각형에 외접하는 원은 내접하는 원의 두 배이다.
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ Γ△, διάμετρος δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ Γ△ παρὰ τὰν ΑΕ·
정사각형 ΑΒ에 외접하는 원 ΑΒ가 있고, 그 안에 내접하는 원 ΓΔ가 있다고 하자. 그리고 외접원과 정사각형의 지름(대각선)을［ΑΒ라 하고］, 내접원의 지름 ΓΔ가 ΑΕ에 평행하게 그어져 있다고 하자.
φαμὶ Et δή, ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων.
이때 외접원은 내접원의 두 배라고 나는 주장한다.
Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ△, οἱ κύκλοι δὲ ἐντι ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίων·
그렇다면 ΑΒ 위의 정사각형은 ΑΕ 위의 정사각형, 즉 ΓΔ 위의 정사각형의 두 배이고, 원들은 그 지름 위의 정사각형들의 비율을 가지므로, 외접원 또한 내접원의 두 배가 될 것이다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 증명하고자 하는 바가 증명되었다.