§13## ιγ΄. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς ὦσιν, ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ, ἀχθέωντι δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθεία, αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
## ιγ΄. もし円において、互いに直角ではなく交わる2つの直線があり、一方は直径であり他方はそうではないとし、直径の両端からもう一方の直線に対して直角に直線が引かれるならば、直径の両端から［下ろされた垂線によって］切り取られる直線は互いに等しい。
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ Γ△ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ Γ△ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ Γ△ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί. 実際、ΕΒ が結ばれ、円の中心 Ι から Γ△ に対して直角に直線 ΙΗ が引かれ、延長されて ΕΒ と点 Θ において出会うとせよ。
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν, ἁ δὲ ΒΙ τᾷ ΙΑ ἴσα, εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα.
さて、直線 ΙΗ は ΑΕ に平行であり、ΒΙ は ΙΑ に等しいから、したがって直線 ΒΘ は ΘΕ に等しい。
Πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ, ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα ἔστι δὲ καὶ ἁ ΗΓ τᾷ Η△ ἴσα·
再び、ΒΖ は ΘΗ に平行であるから、したがって直線 ΖΗ は直線 ΗΕ に等しい。 また、ΗΓ も Η△ に等しい。
κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
共通のものとして ΖΗ、すなわち ΗΕ が引かれたとせよ。
λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ Ε△ ἐστὶν ἴσα·
したがって、残りの ΖΓ は残りの Ε△ に等しい。
φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι.
したがって、示すべきであったことは明らかである。
§14## ιδ΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
## ιδ΄. もし半円において、直径の両端から2つの等しい線分が取られ、これらを［直径として］内側に半円が描かれ、また直径の残りの線分を［直径として］外側に半円が描かれるならば、その直径が、半円の半径と外側の半円の半径の両者を合わせたものであるような円は、それら半円の弧によって囲まれた領域（これを三日月形と呼ぼう）に等しい。
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, Β△, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ△ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον·
半円があり、その直径を ΑΒ とせよ。 そして直径の両端 Α, Β から、互いに等しい2つの線分 ΑΓ, Β△ が取られたとせよ。 またそれらの線分を［直径として］内側に2つの半円が描かれ、残りの線分 Γ△ を［直径として］外側に半円が描かれたとせよ。 そして、［元の］半円の中心 Ε を通り、直径 ΑΒ 与直角に交わる直線 ΕΖ が引かれ、点 Η まで延長されたとせよ。
φαμὶ δή, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
このとき、直径が ΖΗ である円は、それら半円の弧によって囲まれた領域（これを三日月形と呼ぼう）に等しいと私は主張する。
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα· γραμμὰ ἁ △Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς △Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου.
実際、直線（線分） △Γ は点 Ε において2等分されており、それと一直線をなして直線 ΓΑ が付け加えられているから、△Α の上の正方形と、付け加えられた ΓΑ の上の正方形の両者の和は、［△Γ の］半分である △Ε の上の正方形と、ΕΑ の上の正方形との［和の］2倍である。
Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ △Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ△ τᾶς △Ε, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, Γ△ τοῖς ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα·
また、ΖΗ は △Α に等しい。 したがって、ΖΗ, ΓΑ の上の正方形［の和］も、△Ε の上の正方形と ΕΑ の上の正方形［の和］の2倍である。 そして、ΑΒ は ΑΕ の2倍であり、Γ△ は △Ε の2倍であるから、ΑΒ, Γ△ の上の正方形［の和］は、△Ε, ΕΑ の上の正方形［の和］の4倍になり、すなわち、ΖΗ, ΓΑ の上の正方形［の和］の2倍となる。
κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλασίονές ἐντι·
したがって、直線 ΑΒ, △Γ を直径とする円は、ΖΗ, ΓΑ を直径とする円の2倍である。
ἁμικύκλια ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν·
したがって、直線 ΑΒ, △Γ を直径とする半円は、ΖΗ, ΓΑ を直径とする円に等しい。
κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, △Β·
共通のものとして、直径が ΑΓ である円、すなわち直径が ΑΓ, △Β である2つの半円が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελήνιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν·
したがって、残りの、それら半円の弧によって囲まれた領域、すなわち三日月形と呼ばれるものは、直径が ΖΗ である円に等しい。
δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは明らかである。