§15## ιε΄. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου, τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ △, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου διάχθω ἁ △Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
## ιε΄. 半円 ΑΒ があり、ΑΓ を内接する等辺かつ等角の五角形の一辺とせよ。 そして弧 ΑΓ は点 △ において二等分されるとし、結ばれた Γ△ は点 Ε まで延長されるとせよ。 また点 △ から △Β が引かれて辺 ΑΓ と点 Ζ において交わるとし、点 Ζ から ΑΒ に対して直角に ΖΗ が引かれるとせよ。 このとき、直線 ΕΗ は円の半径に等しいと私は主張する。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ△, △Η, Α△ εὐθεῖαι.
実際、ΓΒ が結ばれ、円の中心を点 Θ とせよ。 そして直線 Θ△, △Η, Α△ が引かれるとせよ。
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ△, τουτέστι ἁ ὑπὸ △ΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν·
さて、角 ΑΒΓ は直角の5分の2であるから、角 ΓΒ△すなわち角 △ΒΑは直角の5分の1である。
γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν.
したがって、角 △ΘΑ は直角の5分の2である。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα.
そして、2つの三角形 ΓΒΖ, ΗΒΖ において、Β における2つの角は互いに等しく、Η, Γ における角は直角であり、辺 ΒΖ は共通であるから、したがって底辺 ΒΓ も底辺 ΒΗ に等しくなる。
Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ△, ΗΒ△ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β△, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ△, τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα·
再び、2つの三角形 ΓΒ△, ΗΒ△ において、2つの辺 ΓΒ, ΒΗ は互いに等しく、Β における角も等しく、辺 Β△ は共通であるから、したがって角 ΒΓ△ は角 ΒΗ△（すなわち直角の1と5分の1）に等しくなる。
ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ△, ΒΗ△ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑ△Γ, τουτέστι τᾷ △ΑΕ, ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ △Α τᾷ △Η. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΘΗ βε΄ ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Η βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ △ Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα.
また、角 ΒΓ△, ΒΗ△ の各々は、円に内接する四角形 ΒΑ△Γ の外角、すなわち角 △ΑΕ に等しい。 したがって、角 △ΑΒ は角 △ΗΑ に等しく、また辺 △Α は △Η に等しい。 そして、角 △ΘΗ は直角の5分の2であり、角 △ΗΘ は直角の1と5分の1であるから、したがって角 Θ△Η は直角の5分の2である。 したがって、辺 △Η は辺 ΗΘ に等しい。
Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ Α△ΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα·
再び、角 Α△Ε は円に内接する四角形 Α△ΓΒ の外角であるから、したがって角 Α△Ε は角 ΑΒΓ に等しくなる。
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ΄ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Η△Θ ἐστὶν ἴσα.
そして角 ΑΒΓ は直角の5分の2であるから、したがって角 Α△Ε は角 Η△Θ に等しい。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Ε△Α, Θ△Η δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ Ε△Α, △ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ Θ△Η. △ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ △Α βάσει τᾷ △Η ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν.
そして、2つの三角形 Ε△Α, Θ△Η において、2つの角 Ε△Α, △ΑΕ は2つの角 Θ△Η, △ΗΘ にそれぞれ等しく、底辺 △Α は底辺 △Η に等しいから、したがって辺 ΕΑ は辺 ΘΗ に等しい。
Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν·
共通のものとして ΑΗ が加えられたとせよ。 したがって、直線 ΕΗ は直線 ΑΘ、すなわち円の半径に等しい。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。
ΠΟΡΙΣΜΑ
Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ △Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα.
系これより、直線 △Ε が円の半径に等しいことは明らかである。
Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ △Θ πλευρᾷ τᾷ △Ε, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα.
実際、角 △ΑΕ は角 △ΗΘ に等しいから、辺 △Θ も辺 △Ε、すなわち ΑΘ に等しくなる。
ΠΟΡΙΣΜΑ
Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ △ σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ △Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ Ε△ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ △Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων.
系さらに、直線 ΑΓ は点 △ において外中比（黄金比）に分割され、線分 △Ε が大きい方の部分であることも明らかである。 なぜなら、Ε△ は円に内接する六角形の一辺であり、△Γ は十角形の一辺だからである。