§13## ιγ΄.
## ιγ΄.
Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς ὦσιν, ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ, ἀχθέωντι δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθεία, αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
만약 원 안에서 서로 직각이 아닌 상태로 교차하는 두 직선이 있고, 그중 하나는 지름이고 다른 하나는 지름이 아니며, 지름의 끝점들로부터 다른 직선으로 수선들이 그어진다면, 지름의 끝점들로부터［내려진 수선들에 의해 다른 직선에서］ 잘려 나간 직선들은 서로 같다.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ Γ△ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
원 ΑΒΓ가 있고, 그 안에 서로 직각으로 교차하지 않는 두 직선 ΑΒ, Γ△가 있으며, 그중 ΑΒ는 원의 지름이라 하자. 그리고 지름의 끝점들 Α, Β로부터 Γ△에 직각으로 직선 ΑΕ, ΒΖ가 그어졌다고 하자. 이때 지름의 끝점들로부터 잘려 나간 직선들 ΓΖ, △Ε는 서로 같다고 나는 주장한다.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ Γ△ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον.
실제로 ΕΒ가 연결되고, 원의 중심 Ι로부터 Γ△에 직각으로 직선 ΙΗ가 그어져 연장선이 ΕΒ와 점 Θ에서 만나도록 하자.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν, ἁ δὲ ΒΙ τᾷ ΙΑ ἴσα, εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα.
그렇다면 직선 ΙΗ는 ΑΕ와 평행하고, ΒΙ는 ΙΑ와 같으므로, 따라서 직선 ΒΘ는 ΘΕ와 같다.
Πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ, ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα ἔστι δὲ καὶ ἁ ΗΓ τᾷ Η△ ἴσα·
다시, ΒΖ는 ΘΗ와 평행하므로, 따라서 직선 ΖΗ는 직선 ΗΕ와 같다. 또한 ΗΓ 역시 Η△와 같다.
κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
공통인 부분인 ΖΗ, 즉 ΗΕ가 빼지도록 하자.
λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ Ε△ ἐστὶν ἴσα·
따라서 남은 부분인 ΖΓ는 남은 부분인 Ε△와 같다.
φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 보여주고자 했던 바가 분명해졌다.
§14## ιδ΄.
## ιδ΄.
Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
만약 반원에서 지름의 끝점들로부터 두 개의 같은 선분이 취해지고, 이것들로부터 안쪽으로 반원들이 그려지며, 지름의 남은 선분으로부터 바깥쪽으로 반원이 그려진다면, 지름이 반원의 반지름과 바깥쪽 반원의 반지름의 합인 원은 이들 반원의 호들에 의해 둘러싸인 영역(이것을 초승달 모양이라 부르자)과 같다.
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, Β△, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ△ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον·
반원이 있고, 그 지름을 ΑΒ라 하자. 그리고 지름의 끝점들 Α, Β로부터 서로 같은 두 선분 ΑΓ, Β△가 취해졌다고 하자. 또한 이 선분들로부터 안쪽으로 두 반원이 그려지고, 남은 선분 Γ△로부터 바깥쪽으로 반원이 그려졌다고 하자. 그리고 반원의 중심 Ε를 지나고 지름 ΑΒ와 직각으로 교차하는 직선 ΕΖ가 그어져 점 Η까지 연장되었다고 하자.
φαμὶ δή, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
이때 지름이 ΖΗ인 원은 이들 반원의 호들에 의해 둘러싸인 영역(이것을 초승달 모양이라 부르자)과 같다고 나는 주장한다.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα· γραμμὰ ἁ △Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς △Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου.
실제로 직선 △Γ가 점 Ε에서 이등분되어 있고, 그것과 일직선상에 직선 ΓΑ가 덧붙여져 있으므로, △Α 위의 정사각형과 덧붙여진 ΓΑ 위의 정사각형의 합은 반인 △Ε 위의 정사각형과 ΕΑ 위의 정사각형의 합의 두 배이다.
Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ △Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ△ τᾶς △Ε, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, Γ△ τοῖς ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα·
또한 ΖΗ는 △Α와 같다. 그러므로 ΖΗ, ΓΑ 위의 정사각형들의 합 역시 △Ε 위의 정사각형과 ΕΑ 위의 정사각형의 합의 두 배이다. 그리고 ΑΒ는 ΑΕ의 두 배이고, Γ△는 △Ε의 두 배이므로, ΑΒ, Γ△ 위의 정사각형들의 합 또한 △Ε, ΕΑ 위의 정사각형들의 합의 네 배, 즉 ΖΗ, ΓΑ 위의 정사각형들의 합의 두 배가 될 것이다.
κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλασίονές ἐντι·
그러므로 직선 ΑΒ, △Γ를 지름으로 하는 원들은 지름이 ΖΗ, ΓΑ인 원들의 두 배이다.
ἁμικύκλια ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν·
따라서 직선 ΑΒ, △Γ를 지름으로 하는 반원들은 지름이 ΖΗ, ΓΑ인 원들과 같다.
κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, △Β·
공통인 지름이 ΑΓ인 원, 즉 지름이 ΑΓ, △Β인 두 반원이 빼지도록 하자.
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελήνιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν·
따라서 남은 부분인 반원의 호들에 의해 둘러싸인 영역, 즉 초승달 모양이라 불리는 영역은 지름이 ΖΗ인 원과 같다.
δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 제안된 바가 분명해졌다.