§11## ιά. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί.
## ια΄. もし円において、2つの直線が互いに直角に交わり、中心を通らないものであるならば、それらの直線の線分の上の正方形［の和］は、円の直径の上の正方形に等しい。
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τετμάσθων ποτʼ ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σαμεῖον·
実際、円 ΑΒΓ があり、2つの直線 ΑΒ, ΓΔ が点 Ε において直角に交わっているとせよ。
φαμὶ δή, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
このとき、線分 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ の上の正方形［の和］は、円の直径の上の正方形に等しいと私は主張する。
Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ induoκύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΑΓ, Α△, ΓΖ, △Β εὐθεῖαι.
実際、円の直径 ΑΖ が引かれ、直線 ΑΓ, ΑΔ, ΓΖ, ΔΒ が結ばれたとせよ。
Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Α△Ε, ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕ△, Α△Ε, καὶ ΑΓΖ, ΑΖΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΖ, △ΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἴσαι·
さて、2つの三角形 ΑΔΕ, ΑΖΓ において、角 ΑΕΔ, ΑΔΕ および［角］ ΑΓΖ, ΑΖΓ は、それぞれ一方が他方に互いに等しいから、残りの角 ΓΑΖ, ΔΑΕ は互いに等しくなるであろう。
περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ, △Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, καὶ αἱ ταύτας ὑποτείνουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Β ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς △Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ, ἴσον, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΑ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου, ἴσα·
したがって、弧 ΓΖ, ΔΒ は互いに等しく、これらを張る直線 ΓΖ, ΔΒ も［互いに等しい］。 また、ΔΕ, ΕΒ の上の正方形［の和］は ΔΒ の上の正方形、すなわち ΓΖ の上の正方形に等しく、ΑΕ, ΕΓ の上の正方形［の和］は ΓΑ の上の正方形に等しく、そして ΓΖ, ΓΑ の上の正方形［の和］は ΖΑ の上の正方形、すなわち直径の上の正方形に等しい。
ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、線分 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ の上の正方形［の和］は直径の上の正方形に等しくなるであろう。 したがって、提示されたことは示された。
§12## ιβ΄. Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς.
## ιβ΄. もし半円の外の点から、それに接する2つの直線が引かれ、またそれらの接点から、直径の向かい合う端点へ2つの直線が引かれて互いに交わるならば、外の点から2つの直線の交点へと引かれ、直径まで延長された直線は、これと直角に交わるであろう。
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ△, ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ △, Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, △Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς.
半円 ΑΒ があり、その外のある点を Γ とせよ。 そして Γ から2つの直線 ΓΔ, ΓΕ が、点 Δ, Ε においてそれに接するように引かれたとせよ。 また接点から、直径の向かい合う端点 Α, Β へ直線 ΕΑ, ΔΒ が結ばれて、互いに点 Ζ において交わっているとせよ。 そして引かれた ΓΖ が点 Η まで延長されたとせよ。 このとき、直線 ΓΗ は直径 ΑΒ と直角に交わるであろうと私は主張する。
Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α△, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ △ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΑΒ, △ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα.
実際、ΑΔ, ΕΒ が結ばれたとせよ。 さて、三角形 ΔΑΒ の角 ΑΔΒ は直角であるから、したがって残りの角 ΔΑΒ, ΔΒΑ は1つの直角に等しい。 また角 ΑΕΒ も1つの直角に等しい。 ［角］ ΖΒΕ が共通のものとして足されたとせよ。 したがって、角 ΔΑΒ, ΑΒΕ の和は、［角］ ΖΒΕ, ΖΕΒ の和、すなわち三角形 ΖΒΕ の外角である［角］ ΔΖΕ に等しい。
Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ △Β τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ Γ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, Γ△Ζ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν, οἷον τᾶν Γ△, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί, οἷον αἱ △Ζ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, △ σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ Γ△, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα·
そして、直線 ΓΔ は円の接線であり、接点から円を切る ΔΒ が引かれているから、角 ΓΔΒ は角 ΔΑΒ に等しくなるであろう。 まさに同じ理由によって、角 ΓΕΖ も［角］ ΕΒΑ に等しい。 したがって、角 ΓΕΖ, ΓΔΖ の和も［角］ ΔΖΕ に等しい。 そして、我々が『四角形について』において示したように、もし交わる2つの等しい直線、例えば ΓΔ, ΓΕ の間に、交わる2つの直線、例えば ΔΖ, ΕΖ が引かれ、またこれらに囲まれる角、例えば Ζ における角が、その交わる2つの直線に囲まれる2つの角の和、例えば点 Ε, Δ における角の和に等しいならば、その2つの直線が出会う点から、これらが互いに交わる点へと結ばれた直線、例えば直線 ΓΖ は、その交わる直線のそれぞれ、例えば ΓΔ, ΓΕ に等しい。
ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ△ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Γ△Ζ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ △ΑΗ·
したがって、直線 ΓΖ は ΓΔ に等しい。 また、角 ΓΖΔ も角 ΓΔΖ、すなわち［角］ ΔΑΗ に等しい。
γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ△, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
また、角 ΓΖΔ, ΔΖΗ は2つの直角に等しい。
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΗ, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν·
したがって、角 ΔΑΗ, ΔΖΗ の和も2つの直角に等しい。
λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ Α△ΖΗ αἱ ὑπὸ Α△Ζ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
したがって、四角形 ΑΔΖΗ の残りの角である ΑΔΖ, ΑΗΖ ［の和］は、2つの直角に等しい。
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν·
そして角 ΑΔΒ は1つの直角に等しい。 したがって、角 ΑΗΓ は1つの直角に等しい。
ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ △Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς·
したがって、直線 ΔΗ は直径 ΑΒ と直角に交わる。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
したがって、提示されたことは示された。