§13## ιγ΄. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς ὦσιν, ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ, ἀχθέωντι δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθεία, αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
## ιγ΄. 如果圆内有两条不以直角相交的直线，其中一条是直径而另一条不是，且自直径的两端向另一条直线引出垂线，则自直径两端［引出的垂线在另一条直线上］所截得的直线彼此相等。
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ Γ△ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
设有圆 ΑΒΓ，其内有两条不以直角相交的直线 ΑΒ, Γ△，其中 ΑΒ 是圆的直径。 令自直径的两端 Α, Β 向 Γ△ 引出垂线 ΑΕ, ΒΖ；我断言，自直径两端所截得的直线 ΓΖ, △Ε 彼此相等。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ Γ△ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον.
连结 ΕΒ，且自圆心 Ι 向 Γ△ 引出垂线 ΙΗ，并使其延长与 ΕΒ 相交于点 Θ。
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν, ἁ δὲ ΒΙ τᾷ ΙΑ ἴσα, εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα.
因为，既然直线 ΙΗ 与 ΑΕ 平行，且 ΒΙ 与 ΙΑ 相等，所以直线 ΒΘ 与 ΘΕ 相等。
Πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ, ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα ἔστι δὲ καὶ ἁ ΗΓ τᾷ Η△ ἴσα· κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ, τουτέστιν ἁ ΗΕ·
再次，因为 ΒΖ 与 ΘΗ 平行，所以直线 ΖΗ 与直线 ΗΕ 相等。 又因为 ΗΓ 也与 Η△ 相等；令公共部分 ΖΗ（即 ΗΕ）减去。
λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ Ε△ ἐστὶν ἴσα·
因此，其余部分 ΖΓ 与其余部分 Ε△ 相等。
φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι.
故所求证者已显明。
§14## ιδ΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
## ιδ΄. 如果半圆内自直径两端取两个相等的线段，并以此为直径向内作两个半圆，且自直径的其余部分向外作一个半圆，则以该半圆的半径与外侧半圆的半径之和为直径的圆，等于由这些半圆的圆弧所包围的区域（此区域被称为月牙形）。
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, Β△, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ△ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον·
设有半圆，其直径为 ΑΒ。 令自直径两端 Α, Β 取两个彼此相等的线段 ΑΓ, Β△；令以此线段为直径向内作两个半圆，自其余线段 Γ△ 向外作一个半圆；令通过半圆圆心 Ε 且与直径 ΑΒ 垂直的直线 ΕΖ 引出并延长至点 Η。
φαμὶ δή, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.
我断言，以 ΖΗ 为直径的圆，等于由这些半圆的圆弧所包围的区域（此区域被称为月牙形）。
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα· γραμμὰ ἁ △Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς △Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου.
因为，既然直线 △Γ 在点 Ε 处被二等分，且有直线 ΓΑ 与之在一直线上相加，则在 △Α 上的正方形与在相加的 ΓΑ 上的正方形之和，等于在半线段 △Ε 上的正方形与在 ΕΑ 上的正方形之和的两倍。
Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ △Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ△ τᾶς △Ε, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, Γ△ τοῖς ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα·
又因为 ΖΗ 等于 △Α；所以，在 ΖΗ, ΓΑ 上的正方形之和也等于在 △Ε 上的正方形与在 ΕΑ 上的正方形之和的两倍。 并且，因为 ΑΒ 是 ΑΕ 的两倍，且 Γ△ 是 △Ε 的两倍，所以在 ΑΒ, Γ△ 上的正方形之和也将是在 △Ε, ΕΑ 上的正方形之和的四倍，即在 ΖΗ, ΓΑ 上的正方形之和的两倍。
κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλασίονές ἐντι·
因此，以直线 ΑΒ, △Γ 为直径的圆，是以 ΖΗ, ΓΑ 为直径的圆的两倍。
ἁμικύκλια ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν·
因此，以直线 ΑΒ, △Γ 为直径的半圆，等于以 ΖΗ, ΓΑ 为直径 of 圆。
κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, △Β·
令公共的以 ΑΓ 为直径的圆（即以 ΑΓ, △Β 为直径的两个半圆）减去。
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελήνιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν·
因此，其余由半圆圆弧所包围的区域（即被称为月牙形者），等于以 ΖΗ 为直径的圆。
δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已显明。