§13.3ὥσπερ γὰρ καὶ τὰ καθόλου ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ περὶ κεχωρισμένων ἐστὶ παρὰ τὰ μεγέθη καὶ τοὺς ἀριθμοὺς ἀλλὰ περὶ τούτων μέν, οὐχ ᾗ δὲ τοιαῦτα οἷα ἔχειν μέγεθος ἢ εἶναι διαιρετά, δῆλον ὅτι ἐνδέχεται καὶ περὶ τῶν αἰσθητῶν μεγεθῶν εἶναι καὶ λόγους καὶ ἀποδείξεις, μὴ ᾗ δὲ αἰσθητὰ ἀλλʼ ᾗ τοιαδί.
というのも、数学における普遍的な定理が、大きさや数から離れて別個にあるものについてのものではなく、これらについてのものでありながら、しかしそれらが大きさを持つとか、分割可能であるといった限りにおいてのものではないのと同様に、感覚される大きさについても、それが感覚されるものである限りにおいてではなく、まさにそのようなものである限りにおいて、議論や証明が存在しうることは明らかである。
ὥσπερ γὰρ καὶ ᾗ κινούμενα μόνον πολλοὶ λόγοι εἰσί, χωρὶς τοῦ τί ἕκαστόν ἐστι τῶν τοιούτων καὶ τῶν συμβεβηκότων αὐτοῖς, καὶ οὐκ ἀνάγκη διὰ ταῦτα ἢ κεχωρισμένον τι εἶναι κινούμενον τῶν αἰσθητῶν ἢ ἐν τούτοις τινὰ φύσιν εἶναι ἀφωρισμένην, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν κινουμένων ἔσονται λόγοι καὶ ἐπιστῆμαι, οὐχ ᾗ κινούμενα δὲ ἀλλʼ ᾗ σώματα μόνον, καὶ πάλιν ᾗ ἐπίπεδα μόνον καὶ ᾗ μήκη μόνον, καὶ ᾗ διαιρετὰ καὶ ᾗ ἀδιαίρετα ἔχοντα δὲ θέσιν καὶ ᾗ ἀδιαίρετα μόνον, ὥστʼ ἐπεὶ ἁπλῶς λέγειν ἀληθὲς μὴ μόνον τὰ χωριστὰ εἶναι ἀλλὰ καὶ τὰ μὴ χωριστά (οἷον κινούμενα εἶναι), καὶ τὰ μαθηματικὰ ὅτι ἔστιν ἁπλῶς ἀληθὲς εἰπεῖν, καὶ τοιαῦτά γε οἷα λέγουσιν.
というのも、例えば、動いているものそれ自体としてのみについての多くの議論が存在し、そのようなものの各々が何であるか、またそれらに付随する属性から切り離されていても、そのために感覚されるものから切り離された何らかの動くものが存在するか、あるいは感覚されるものの中に限定された何らかの性質が存在することは必要でないのと同様に、動くものについても、動くものとしてではなく、ただ立体としてのみ、あるいはさらに、ただ面としてのみ、ただ線としてのみ、あるいは分割可能なものとして、あるいは位置を有する分割不可能なものとして、あるいはただ分割不可能なものとしてのみの、議論や学問が存在するであろう。 したがって、分離しているものだけでなく、分離していないもの（例えば動いているもの）もまた存在すると端的に言うことが真実である以上、数学的対象が存在すると端的に言うことも真実であり、かつそれらはまさに彼らが言う通りのものとして存在するのである。
καὶ ὥσπερ καὶ τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἁπλῶς ἀληθὲς εἰπεῖν τούτου εἶναι, οὐχὶ τοῦ συμβεβηκότος (οἷον ὅτι λευκοῦ, εἰ τὸ ὑγιεινὸν λευκόν, ἡ δʼ ἔστιν ὑγιεινοῦ) ἀλλʼ ἐκείνου οὗ ἐστὶν ἑκάστη, εἰ ᾗ ὑγιεινὸν ὑγιεινοῦ, εἰ δʼ ᾗ ἄνθρωπος ἀνθρώπου, οὕτω καὶ τὴν γεωμετρίαν·
そして、他の諸科学についても、それらが付随的な属性についてのものである（たとえば、健康に良いものが白いからといって、ある科学が健康に良いものについてのものであるのに、白いものについての科学である、というような）のではなく、各々がそれ自体についてのものである、すなわち、健康に良いものとしての健康に良いもの、人間としての人間についてのものであると、端的に言うことが真実であるのと同様に、幾何学についてもそうである。
οὐκ εἰ συμβέβηκεν αἰσθητὰ εἶναι ὧν ἐστί, μὴ ἔστι δὲ ᾗ αἰσθητά, οὐ τῶν αἰσθητῶν ἔσονται αἱ μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι, οὐ μέντοι οὐσὲ παρὰ ταῦτα ἄλλων κεχωρισμένων.
幾何学が対象とするものが、たまたま感覚されるものであるとしても、感覚されるものとして対象とするのではないからといって、数学的諸科学が感覚されるものについてのものでないということにはならない。 しかし、さりとて、それらとは別に、分離して存在する他のものについてのものでもない。
πολλὰ δὲ συμβέβηκε καθʼ αὑτὰ τοῖς πράγμασιν ᾗ ἕκαστον ὑπάρχει τῶν τοιούτων, ἐπεὶ καὶ ᾗ θῆλυ τὸ ζῷον καὶ ᾗ ἄρρεν, ἴδια πάθη ἔστιν (καίτοι οὐκ ἔστι τι θῆλυ οὐδʼ ἄρρεν κεχωρισμένον τῶν ζῴων)·
また、多くの属性が、物事に対してそれ自体として、まさにそのようなものとしてそれぞれに付随している。 例えば、動物が雌である限りにおいて、また雄である限りにおいて、特有の性質が存在する（もっとも、動物から離れて分離して存在する「雌」や「雄」があるわけではない）。
ὥστε καὶ ᾗ μήκη μόνον καὶ ᾗ ἐπίπεδα.
したがって、ただ線である限り、またただ面である限りにおいても、同様である。
καὶ ὅσῳ δὴ ἂν περὶ προτέρων τῷ λόγῳ καὶ ἁπλουστέρων, τοσούτῳ μᾶλλον ἔχει τὸ ἀκριβές (τοῦτο δὲ τὸ ἁπλοῦν ἐστίν), ὥστε ἄνευ τε μεγέθους μᾶλλον ἢ μετὰ μεγέθους, καὶ μάλιστα ἄνευ κινήσεως, ἐὰν δὲ κίνησιν, μάλιστα τὴν πρώτην·
そして、定義においてより先立つもの、またより単純なものについてであればあるほど、それだけいっそう厳密さを持つ（この単純さこそがそれである）。 したがって、大きさがない方が大きさがある方よりも厳密であり、とりわけ運動がない方がそうである。 もし運動を扱うとしても、何よりも第一の運動がそうである。
ἁπλουστάτη γάρ, καὶ ταύτης ἡ ὁμαλή.
なぜなら、それが最も単純であり、そのうちでも一様な運動がそうだからである。
ὁ δʼ αὐτὸς λόγος καὶ περὶ ἁρμονικῆς καὶ ὀπτικῆς·
同じ議論は、和声学や光学についても成り立つ。
οὐδετέρα γὰρ ᾗ ὄψις ἢ ᾗ φωνὴ θεωρεῖ, ἀλλʼ ᾗ γραμμαὶ καὶ ἀριθμοί (οἰκεῖα μέντοι ταῦτα πάθη ἐκείνων), καὶ ἡ μηχανικὴ δὲ ὡσαύτως, ὥστʼ εἴ τις θέμενος κεχωρισμένα τῶν συμβεβηκότων σκοπεῖ τι περὶ τούτων ᾗ τοιαῦτα, οὐθὲν διὰ τοῦτο ψεῦδος ψεύσεται, ὥσπερ οὐδʼ ὅταν ἐν τῇ γῇ γράφῃ καὶ ποδιαίαν φῇ τὴν μὴ ποδιαίαν·
なぜなら、どちらも視覚として、あるいは音声として考察するのではなく、線として、あるいは数として考察するからである（もっとも、これらはそれらに特有の属性であるが）。 機械学についても同様である。 したがって、もしある人が付随的な諸属性から分離されたものとして仮定し、それらについてそのようなものである限りにおいて何かを考察するとしても、そのためにいかなる偽りをも語ることにはならない。 それは、地面に描き、 1フートでないものを1フートであると言ったとしても偽りにならないのと同様である。
οὐ γὰρ ἐν ταῖς προτάσεσι τὸ ψεῦδος.
なぜなら、その偽りは前提の中にあるのではないからである。
ἄριστα δʼ ἂν οὕτω θεωρηθείη ἕκαστον, εἴ τις τὸ μὴ κεχωρισμένον θείη χωρίσας, ὅπερ ὁ ἀριθμητικὸς ποιεῖ καὶ ὁ γεωμέτρης.
そして、それぞれをこのように考察するのが最善である。 すなわち、分離していないものを、分離したものとして仮定して考察するのであり、これこそが数理学者や幾何学者が行っていることである。
ἓν μὲν γὰρ καὶ ἀδιαίρετον ὁ ἄνθρωπος ᾗ ἄνθρωπος· ὁ δʼ ἔθετο ἓν ἀδιαίρετον, εἶτʼ ἐθεώρησεν εἴ τι τῷ ἀνθρώπῳ συμβέβηκεν ᾗ ἀδιαίρετος.
というのも、人間は人間である限りにおいて、一つであり分割不可能であるが、ある人は（人間を）一つの分割不可能なものとして仮定し、その上で、人間が分割不可能である限りにおいて、彼に何らかの属性が付随するかどうかを考察する。
ὁ δὲ γεωμέτρης οὔθʼ ᾗ ἄνθρωπος οὔθʼ ᾗ ἀδιαίρετος ἀλλʼ ᾗ στερεόν.
他方、幾何学者は、人間としてでも分割不可能なものとしてでもなく、立体として考察する。
ἃ γὰρ κἂν εἰ μή που ἦν ἀδιαίρετος ὑπῆρχεν αὐτῷ, δῆλον ὅτι καὶ ἄνευ τούτων ἐνδέχεται αὐτῷ ὑπάρχειν, ὥστε διὰ τοῦτο ὀρθῶς οἱ γεωμέτραι λέγουσι, καὶ περὶ ὄντων διαλέγονται, καὶ ὄντα ἐστίν·
なぜなら、たとえ彼が分割不可能なものでなかったとしても、彼に属していたであろう属性は、明らかにこれらの属性がなくても彼に属しうるからである。 したがって、このために幾何学者たちは正しく語っており、実在するものについて議論しているのであり、またそれらは実在するものである。
διττὸν γὰρ τὸ ὄν, τὸ μὲν ἐντελεχείᾳ τὸ δʼ ὑλικῶς.
なぜなら、実在するものは二重であり、一方は現実態においてであり、他方は質料においてだからである。
ἐπεὶ δὲ τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ καλὸν ἕτερον (τὸ μὲν γὰρ ἀεὶ ἐν πράξει, τὸ δὲ καλὸν καὶ ἐν τοῖς ἀκινήτοις), οἱ φάσκοντες οὐδὲν λέγειν τὰς μαθηματικὰς ἐπιστήμας περὶ καλοῦ ἢ ἀγαθοῦ ψεύδονται.
ところで、善と美とは異なるので（なぜなら、前者は常に行為の中にあるが、美は動かないものの中にも存在するからである）、数学的諸科学が美や善について何も語っていないと主張する人々は誤っている。
λέγουσι γὰρ καὶ δεικνύουσι μάλιστα·
なぜなら、彼らはそれらについて語り、何よりも示しているからである。
οὐ γὰρ εἰ μὴ ὀνομάζουσι τὰ δʼ ἔργα καὶ τοὺς λόγους δεικνύουσιν, οὐ λέγουσι περὶ αὐτῶν.
というのも、それらの名前を直接口にしないからといって、その効果や定義を示しているならば、それらについて語っていないということにはならないからである。
τοῦ δὲ καλοῦ μέγιστα εἴδη τάξις καὶ συμμετρία καὶ τὸ ὡρισμένον, ἃ μάλιστα δεικνύουσιν αἱ μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι.
美の最も重要な形態とは、秩序と調和と限定であり、これらを最もよく示すのが数学的諸科学である。
καὶ ἐπεί γε πολλῶν αἴτια φαίνεται ταῦτα (λέγω δʼ οἷον ἡ τάξις καὶ τὸ ὡρισμένον), δῆλον ὅτι λέγοιεν ἂν καὶ τὴν τοιαύτην αἰτίαν τὴν ὡς τὸ καλὸν αἴτιον τρόπον τινά.
そして、まさにこれら（私が秩序や限定と言うようなもの）が多くのことの原因であるように思われる以上、彼らがこのような原因、すなわち美が原因であるような仕方の原因についても、ある意味で語っていることは明らかである。
μᾶλλον δὲ γνωρίμως ἐν ἄλλοις περὶ αὐτῶν ἐροῦμεν.
しかし、これらについては、他の箇所でより分かりやすく語ることにしよう。