§13.3ὥσπερ γὰρ καὶ τὰ καθόλου ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ περὶ κεχωρισμένων ἐστὶ παρὰ τὰ μεγέθη καὶ τοὺς ἀριθμοὺς ἀλλὰ περὶ τούτων μέν, οὐχ ᾗ δὲ τοιαῦτα οἷα ἔχειν μέγεθος ἢ εἶναι διαιρετά, δῆλον ὅτι ἐνδέχεται καὶ περὶ τῶν αἰσθητῶν μεγεθῶν εἶναι καὶ λόγους καὶ ἀποδείξεις, μὴ ᾗ δὲ αἰσθητὰ ἀλλʼ ᾗ τοιαδί.
수학에서의 보편적인 정리들이 크기나 수로부터 떨어져 별개로 존재하는 것들에 대한 것이 아니라 이것들에 대한 것이면서도, 그것들이 크기를 갖거나 분할 가능한 것들인 한에서 연구되는 것은 아닌 것과 마찬가지로, 감각되는 크기들에 대해서도 감각되는 것인 한에서가 아니라 바로 그러한 성질을 가진 것인 한에서 논의와 증명이 있을 수 있음은 분명하다.
ὥσπερ γὰρ καὶ ᾗ κινούμενα μόνον πολλοὶ λόγοι εἰσί, χωρὶς τοῦ τί ἕκαστόν ἐστι τῶν τοιούτων καὶ τῶν συμβεβηκότων αὐτοῖς, καὶ οὐκ ἀνάγκη διὰ ταῦτα ἢ κεχωρισμένον τι εἶναι κινούμενον τῶν αἰσθητῶν ἢ ἐν τούτοις τινὰ φύσιν εἶναι ἀφωρισμένην, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν κινουμένων ἔσονται λόγοι καὶ ἐπιστῆμαι, οὐχ ᾗ κινούμενα δὲ ἀλλʼ ᾗ σώματα μόνον, καὶ πάλιν ᾗ ἐπίπεδα μόνον καὶ ᾗ μήκη μόνον, καὶ ᾗ διαιρετὰ καὶ ᾗ ἀδιαίρετα ἔχοντα δὲ θέσιν καὶ ᾗ ἀδιαίρετα μόνον, ὥστʼ ἐπεὶ ἁπλῶς λέγειν ἀληθὲς μὴ μόνον τὰ χωριστὰ εἶναι ἀλλὰ καὶ τὰ μὴ χωριστά (οἷον κινούμενα εἶναι), καὶ τὰ μαθηματικὰ ὅτι ἔστιν ἁπλῶς ἀληθὲς εἰπεῖν, καὶ τοιαῦτά γε οἷα λέγουσιν.
왜냐하면 예컨대 단지 움직이는 것인 한에서만도 많은 논의들이 존재하며, 이는 그러한 것들 각각이 무엇인지나 그것들의 부수적 속성들과는 무관하고, 그 때문에 감각되는 것들로부터 분리된 어떤 움직이는 것이 존재해야 한다거나 그것들 안에 어떤 한정된 본성이 존재해야 하는 것도 아닌 것과 마찬가지로, 움직이는 것들에 대해서도 그것들이 움직이는 것인 한에서가 아니라 단지 물체인 한에서, 그리고 다시 단지 면인 한에서, 단지 선인 한에서, 분할 가능한 것인 한에서, 그리고 위치를 갖는 분할 불가능한 것인 한에서, 또한 단지 분할 불가능한 것인 한에서만도 논의들과 학문들이 존재할 것이기 때문이다. 따라서 분리된 것들뿐만 아니라 분리되지 않은 것들도 존재한다고 단적으로 말하는 것이 참인 이상, 수학적 대상들이 존재한다고 단적으로 말하는 것도 참이며, 또한 그것들은 참으로 사람들이 말하는 그러한 것들로서 존재한다.
καὶ ὥσπερ καὶ τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἁπλῶς ἀληθὲς εἰπεῖν τούτου εἶναι, οὐχὶ τοῦ συμβεβηκότος (οἷον ὅτι λευκοῦ, εἰ τὸ ὑγιεινὸν λευκόν, ἡ δʼ ἔστιν ὑγιεινοῦ) ἀλλʼ ἐκείνου οὗ ἐστὶν ἑκάστη, εἰ ᾗ ὑγιεινὸν ὑγιεινοῦ, εἰ δʼ ᾗ ἄνθρωπος ἀνθρώπου, οὕτω καὶ τὴν γεωμετρίαν·
그리고 다른 학문들에 대해서도 그것들이 부수적인 속성에 대한 것이 아니라 각 학문이 대상으로 하는 바로 그것에 대한 것이라고 단적으로 말하는 것이 참인 것과 마찬가지로, 건강에 좋은 것인 한에서의 건강에 좋은 것에 대한 것이고, 인간인 한에서의 인간에 대한 것인 것과 마찬가지로, 기하학도 그러하다.
οὐκ εἰ συμβέβηκεν αἰσθητὰ εἶναι ὧν ἐστί, μὴ ἔστι δὲ ᾗ αἰσθητά, οὐ τῶν αἰσθητῶν ἔσονται αἱ μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι, οὐ μέντοι οὐσὲ παρὰ ταῦτα ἄλλων κεχωρισμένων.
설령 기하학이 다루는 대상들이 우연히 감각되는 것들이라 하더라도, 감각되는 것인 한에서 다루는 것이 아니라 해서 수학적 학문들이 감각되는 것들에 대한 것이 아니게 되는 것은 아니다. 그러나 그렇다고 해서 이것들을 벗어난 분리된 다른 것들에 대한 것인 것도 아니다.
πολλὰ δὲ συμβέβηκε καθʼ αὑτὰ τοῖς πράγμασιν ᾗ ἕκαστον ὑπάρχει τῶν τοιούτων, ἐπεὶ καὶ ᾗ θῆλυ τὸ ζῷον καὶ ᾗ ἄρρεν, ἴδια πάθη ἔστιν (καίτοι οὐκ ἔστι τι θῆλυ οὐδʼ ἄρρεν κεχωρισμένον τῶν ζῴων)·
많은 속성들이 그러한 성격 각각이 존재하는 한에서 사물들에게 자체적으로 부수한다. 예컨대 동물에게는 암컷인 한에서, 그리고 수컷인 한에서 고유한 성질들이 존재하는 것과 같다(비록 동물과 분리되어 존재하는 '암컷'이나 '수컷'이 있는 것은 아니지만).
ὥστε καὶ ᾗ μήκη μόνον καὶ ᾗ ἐπίπεδα.
따라서 단지 선인 한에서, 단지 면인 한에서도 마찬가지이다.
καὶ ὅσῳ δὴ ἂν περὶ προτέρων τῷ λόγῳ καὶ ἁπλουστέρων, τοσούτῳ μᾶλλον ἔχει τὸ ἀκριβές (τοῦτο δὲ τὸ ἁπλοῦν ἐστίν), ὥστε ἄνευ τε μεγέθους μᾶλλον ἢ μετὰ μεγέθους, καὶ μάλιστα ἄνευ κινήσεως, ἐὰν δὲ κίνησιν, μάλιστα τὴν πρώτην·
그리고 정의에 있어서 더 앞서고 더 단순한 것들에 대한 것일수록 그만큼 더 엄밀함을 갖는다(이 단순함이 바로 엄밀함이다). 따라서 크기 없이 연구하는 것이 크기와 함께 연구하는 것보다 더 엄밀하며, 특히 운동 없이 연구하는 것이 그러하다. 만약 운동을 다룬다 하더라도 가장 일차적인 운동을 다룰 때 가장 엄밀하다.
ἁπλουστάτη γάρ, καὶ ταύτης ἡ ὁμαλή.
그것이 가장 단순하고, 그중에서도 고른 운동이 그러하기 때문이다.
ὁ δʼ αὐτὸς λόγος καὶ περὶ ἁρμονικῆς καὶ ὀπτικῆς·
이와 동일한 논리는 화성학이나 광학에 대해서도 성립한다.
οὐδετέρα γὰρ ᾗ ὄψις ἢ ᾗ φωνὴ θεωρεῖ, ἀλλʼ ᾗ γραμμαὶ καὶ ἀριθμοί (οἰκεῖα μέντοι ταῦτα πάθη ἐκείνων), καὶ ἡ μηχανικὴ δὲ ὡσαύτως, ὥστʼ εἴ τις θέμενος κεχωρισμένα τῶν συμβεβηκότων σκοπεῖ τι περὶ τούτων ᾗ τοιαῦτα, οὐθὲν διὰ τοῦτο ψεῦδος ψεύσεται, ὥσπερ οὐδʼ ὅταν ἐν τῇ γῇ γράφῃ καὶ ποδιαίαν φῇ τὴν μὴ ποδιαίαν·
왜냐하면 둘 다 시각인 한에서나 음성인 한에서 고찰하는 것이 아니라, 선과 수인 한에서 고찰하기 때문이다(비록 이것들이 저것들의 고유한 속성들이라 하더라도). 기계학 역시 마찬가지이다. 따라서 만약 어떤 사람이 부수적인 속성들로부터 분리된 것으로 가정하고 그것들에 대해 그러한 것인 한에서 고찰한다 하더라도, 이 때문에 그가 거짓을 말하게 되는 것은 전혀 없다. 이는 땅에 선을 그리며 1피트가 아닌 것을 1피트라고 말할 때 거짓이 되지 않는 것과 마찬가지이다.
οὐ γὰρ ἐν ταῖς προτάσεσι τὸ ψεῦδος.
거짓은 전제들 안에 있는 것이 아니기 때문이다.
ἄριστα δʼ ἂν οὕτω θεωρηθείη ἕκαστον, εἴ τις τὸ μὴ κεχωρισμένον θείη χωρίσας, ὅπερ ὁ ἀριθμητικὸς ποιεῖ καὶ ὁ γεωμέτρης.
그리고 각각의 사물은 분리되지 않은 것을 분리된 것으로 가정하여 고찰할 때 가장 잘 고찰될 수 있으며, 이는 산술가와 기하학자가 하는 일이다.
ἓν μὲν γὰρ καὶ ἀδιαίρετον ὁ ἄνθρωπος ᾗ ἄνθρωπος· ὁ δʼ ἔθετο ἓν ἀδιαίρετον, εἶτʼ ἐθεώρησεν εἴ τι τῷ ἀνθρώπῳ συμβέβηκεν ᾗ ἀδιαίρετος.
인간은 인간인 한에서 하나이며 분할 불가능하지만, 어떤 이는 그것을 하나의 분할 불가능한 것으로 가정하고, 그러고 나서 인간에게 분할 불가능한 것인 한에서 어떤 속성이 부수하는지를 고찰한다.
ὁ δὲ γεωμέτρης οὔθʼ ᾗ ἄνθρωπος οὔθʼ ᾗ ἀδιαίρετος ἀλλʼ ᾗ στερεόν.
반면 기하학자는 인간인 한에서나 분할 불가능한 것인 한에서가 아니라 입체인 한에서 고찰한다.
ἃ γὰρ κἂν εἰ μή που ἦν ἀδιαίρετος ὑπῆρχεν αὐτῷ, δῆλον ὅτι καὶ ἄνευ τούτων ἐνδέχεται αὐτῷ ὑπάρχειν, ὥστε διὰ τοῦτο ὀρθῶς οἱ γεωμέτραι λέγουσι, καὶ περὶ ὄντων διαλέγονται, καὶ ὄντα ἐστίν·
왜냐하면 그가 분할 불가능한 것이 아니었다 하더라도 그에게 속했을 법한 속성들은 분명히 이러한 속성들 없이도 그에게 속할 수 있기 때문이다. 그러므로 이 때문에 기하학자들은 올바르게 말하고 있으며, 존재하는 것들에 대해 논하고 있고, 그것들은 존재하는 것들이다.
διττὸν γὰρ τὸ ὄν, τὸ μὲν ἐντελεχείᾳ τὸ δʼ ὑλικῶς.
왜냐하면 존재는 이중적이며, 하나는 현실태로서이고 다른 하나는 질료적으로서이기 때문이다.
ἐπεὶ δὲ τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ καλὸν ἕτερον (τὸ μὲν γὰρ ἀεὶ ἐν πράξει, τὸ δὲ καλὸν καὶ ἐν τοῖς ἀκινήτοις), οἱ φάσκοντες οὐδὲν λέγειν τὰς μαθηματικὰς ἐπιστήμας περὶ καλοῦ ἢ ἀγαθοῦ ψεύδονται.
그런데 선과 미는 서로 다르므로(선은 항상 행위 안에 있지만, 미는 부동의 것들 안에도 있기 때문이다), 수학적 학문들이 미나 선에 대해 아무것도 말하지 않는다고 주장하는 사람들은 거짓을 말하는 것이다.
λέγουσι γὰρ καὶ δεικνύουσι μάλιστα·
왜냐하면 그들은 그것들에 대해 말하고 있으며 무엇보다도 보여주고 있기 때문이다.
οὐ γὰρ εἰ μὴ ὀνομάζουσι τὰ δʼ ἔργα καὶ τοὺς λόγους δεικνύουσιν, οὐ λέγουσι περὶ αὐτῶν.
이름하여 부르지 않는다 하더라도 그것들의 결과와 정의들을 보여준다면 그것들에 대해 말하고 있는 것이기 때문이다.
τοῦ δὲ καλοῦ μέγιστα εἴδη τάξις καὶ συμμετρία καὶ τὸ ὡρισμένον, ἃ μάλιστα δεικνύουσιν αἱ μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι.
미의 가장 중요한 형태는 질서와 균형과 한정성이며, 이것들을 가장 잘 보여주는 것이 수학적 학문들이다.
καὶ ἐπεί γε πολλῶν αἴτια φαίνεται ταῦτα (λέγω δʼ οἷον ἡ τάξις καὶ τὸ ὡρισμένον), δῆλον ὅτι λέγοιεν ἂν καὶ τὴν τοιαύτην αἰτίαν τὴν ὡς τὸ καλὸν αἴτιον τρόπον τινά.
그리고 이것들이 많은 것의 원인으로 보이기 때문에, 그들이 이러한 종류의 원인, 즉 미가 원인인 것과 같은 방식의 원인에 대해서도 어떤 식으로든 말하고 있음은 분명하다.
μᾶλλον δὲ γνωρίμως ἐν ἄλλοις περὶ αὐτῶν ἐροῦμεν.
이에 대해서는 다른 곳에서 더 알기 쉽게 이야기하도록 하겠다.