§9.prop.14ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων.
如果一个最小的数被数个素数度量，那么除了最初度量它的数之外，它不被任何其他素数度量。
ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός.
因为，设最小的数 Α 被素数 Β、Γ、Δ 度量；我声称，Α 除了 Β、Γ、Δ 之外，不被任何其他素数度量。 因为，如果可能，设它被素数 Ε 度量，且 Ε 与 Β、Γ、Δ 中的任何一个都不相同。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
由于 Ε 度量 Α，设它按 Ζ 度量它；因此 Ε 乘以 Ζ 得到了 Α。
καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει· οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν.
而 Α 被素数 Β、Γ、Δ 度量。 但是如果两个数互相乘以得到某个数，而某个素数度量它们所产生的数，它也将度量最初的数中的一个；因此 Β、Γ、Δ 将度量 Ε、Ζ 中的一个。
τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν· ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός.
因此它们不度量 Ε；因为 Ε 是素数且与 Β、Γ、Δ 中的任何一个都不相同。
τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον.
因此它们度量比 Α 小的 Ζ；这是不可能的。
ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος.
因为假定 Α 是被 Β、Γ、Δ 度量的最小的数。
οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，除了 Β、Γ、Δ 之外，没有素数度量 Α；这即是所要求证的。
§9.prop.15ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν.
如果三个数连续成比例，且是在具有相同比的数中最小的，那么其中任意两个相加得到的和与其余一个互素。
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸς τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β.
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
设三个连续成比例的数，且是在具有相同比的数中最小的为 Α、Β、Γ；我声称，在 Α、Β、Γ 中，任意两个相加得到的和与其余一个互素，即 Α、Β 与 Γ 互素，Β、Γ 与 Α 互素，以及 Α、Γ 与 Β 互素。 因为，设取与 Α、Β、Γ 具有相同比的两个最小数 ΔΕ、ΕΖ。 显然，ΔΕ 乘以自身得到了 Α，而乘以 ΕΖ 得到了 Β，并且此外 ΕΖ 乘以自身得到了 Γ。
καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
既然 ΔΕ、ΕΖ 是最小的，它们互为素数。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν· καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
如果两个数互为素数，那么两者的和也与它们中的每一个互素；因此 ΔΖ 也与 ΔΕ、ΕΖ 中的每一个互素。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν· οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
但确实 ΔΕ 也与 ΕΖ 互素；因此 ΔΖ、ΔΕ 与 ΕΖ 互素。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν· ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
如果两个数与某个数互素，那么它们的乘积也与其余那个数互素；因此 ΖΔ 与 ΔΕ 的乘积与 ΕΖ 互素；从而 ΖΔ 与 ΔΕ 的乘积也与 ΕΖ 的平方互素。
. ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
但 ΖΔ 与 ΔΕ 的乘积是 ΔΕ 的平方加上 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积；因此，ΔΕ 的平方加上 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积与 ΕΖ 的平方互素。
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ· οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν.
而 ΔΕ 的平方是 Α，ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积是 Β，ΕΖ 的平方是 Γ；因此，相加得到的 Α、Β 与 Γ 互素。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν.
同样地，我们将证明 Β、Γ 也与 Α 互素。
λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν.
我声称，Α、Γ 也与 Β 互素。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
因为既然 ΔΖ 与 ΔΕ、ΕΖ 中的每一个互素，ΔΖ 的平方也与 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积互素。
ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί.
但是，与 ΔΖ 的平方相等的是 ΔΕ、ΕΖ 的平方加上两倍的 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积；因此，ΔΕ、ΕΖ 的平方加上两倍的 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积与 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积互素。
διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
分离地， ΔΕ、ΕΖ 的平方加上一倍的 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积与 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积互素。
ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
进一步分离地，因此，ΔΕ、ΕΖ 的平方与 ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积互素。
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ. οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 ΔΕ 的平方是 Α，ΔΕ 与 ΕΖ 的乘积是 Β，ΕΖ 的平方是 Γ。 因此，相加得到的 Α、Γ 与 Β 互素；这即是所要求证的。