§9.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς ἄλλον τινά.
如果两个数互为素数，那么第一数与第二数的比，不等于第二数与任何其他数的比。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά.
因为，设两个数 Α、Β 互为素数；我声称，Α 与 Β 的比不等于 Β 与任何其他数的比。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
因为，如果可能，设 Α 与 Β 的比等于 Β 与 Γ 的比。 然而 Α、Β 是素数，而素数也是最小的，而最小的数等次数地度量与它们具有相同比的数，即前项度量前项，后项度量后项；因此 Α 作为前项度量了作为前项的 Β。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἄτοπον.
但它也度量它自身；因此 Α 度量了互为素数的 Α、Β；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，Α 与 Β 的比不等于 Β 与 Γ 的比；这即是所要求证的。
§9.prop.17ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς ἄλλον τινά.
如果任意多个数连续成比例，且它们的两端数互为素数，那么第一数与第二数的比，不等于最后一个数与任何其他数的比。
ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά.
设任意多个连续成比例的数为 Α、Β、Γ、Δ，且它们的两端数 Α、Δ 互为素数；我声称，Α 与 Β 的比不等于 Δ 与任何其他数的比。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
因为，如果可能，设 Α 与 Β 的比等于 Δ 与 Ε 的比；因此更替地，Α 与 Δ 的比等于 Β 与 Ε 的比。 然而 Α、Δ 是素数，而素数也是最小的，而最小的数等次数地度量与它们具有相同比的数，即前项度量前项，后项度量后项。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ· ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ.
因此 Α 度量 Β。 并且 Α 与 Β 的比等于 Β 与 Γ 的比。 因此 Β 也度量 Γ；从而 Α 也度量 Γ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ. ἀλλʼ ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει· ὥστε ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ.
又因为 Β 与 Γ 的比等于 Γ 与 Δ 的比，且 Β 度量 Γ，因此 Γ 也度量 Δ。 但是 Α 曾度量 Γ；从而 Α 也度量 Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν.
但它也度量自身。
ὁ Α ἄρα τοὺς α, Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因此 Α 度量了互为素数的 Α、Δ；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，Α 与 Β 的比不等于 Δ 与任何其他数的比；这即是所要求证的。
§9.prop.18δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
给定两个数，探究是否可能找到与它们比例的第三个正比例数。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
设给定的两个数为 Α、Β，且要求探究是否可能找到与它们比例的第三个正比例数。
οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
那么 Α、Β 或者互为素数，或者不互为素数。
καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
如果它们互为素数，已经证明了不可能找到与它们比例的第三个正比例数。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· ὁ Α δὴ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
但是，设 Α、Β 不互为素数，且设 Β 乘以自身得到 Γ；那么 Α 或者度量 Γ，或者不度量 Γ。
μετρείτω πρότερον κατὰ τὸν Δ· ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
首先，设它按 Δ 度量它；因此 Α 乘以 Δ 得到了 Γ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Δ· τοῖς Α, Β ἄρα τρίτος ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ· λέγω, ὅτι τοῖς Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
但是确实，Β 乘以自身也得到了 Γ；因此 Α 与 Δ 的乘积等于 Β 的平方。 因此， Α 与 Β 的比等于 Β 与 Δ 的比；因此，找到了与 Α、Β 比例的第三个数 Δ。 但是，设 Α 不度量 Γ；我声称，不可能找到与 Α、Β 比例的第三个数。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ·
因为，如果可能，设 Δ 已经被找到；因此 Α 与 Δ 的乘积等于 Β 的平方。 而 Β 的平方是 Γ；因此 Α 与 Δ 的乘积等于 Γ。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον.
从而 Α 乘以 Δ 得到了 Γ；因此 Α 按 Δ 度量 Γ。 但是确实，又假定它不度量它；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，当 Α 不度量 Γ 时，不可能找到与 Α、Β 比例的第三个正比例数；这即是所要求证的。