§9.prop.14ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων.
もし最小の数が複数の素数によって割り切られるならば、それは、最初に割り切っている数たちを除いて、いかなる他の素数によっても割り切られないであろう。
ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω·
なぜなら、最小の数 Α が素数である Β, Γ, Δ によって割り切られるとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός.
私は、Α が Β, Γ, Δ 以外の他のいかなる素数によっても割り切られないと主張する。 なぜなら、可能であるならば、素数である Ε によって割り切られるとし、Ε は Β, Γ, Δ のいずれとも同じではないとせよ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ·
そして、Ε は Α を割り切るから、これを Ζ を商として割り切るとせよ。
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって Ε は Ζ を掛け合わせて Α を作った。
καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει·
そして Α は素数である Β, Γ, Δ によって割り切られる。 ところで、もし二つの数が互いに掛け合わせてある数を作り、その作られた積をある素数が割り切るならば、その素数は最初の数のうちの一つも割り切るであろう。
οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν.
したがって Β, Γ, Δ は Ε, Ζ のうちの一つを割り切るであろう。
τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν·
ところが、彼らは Ε は割り切らない。
ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός.
なぜなら、Ε は素数であり、かつ Β, Γ, Δ のいずれとも同じではないからである。
τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον.
したがって彼らは、Α よりも小さい Ζ を割り切るが、これは不可能である。
ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος.
なぜなら、Α は Β, Γ, Δ によって割り切られる最小の数として仮定されているからである。
οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ·
したがって、Β, Γ, Δ 以外の素数は Α を割り切らないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.15ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν.
もし三つの数が連続して比例し、それらと同じ比を持つものの中で最小であるならば、そのうちの任意の二つを足し合わせたものは、残りの一つに対して素である。
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ·
三つの連続して比例する数であり、それらと同じ比を持つものの中で最小であるものを Α, Β, Γ とせよ。
λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸς τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β.
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
私は、Α, Β, Γ のうちの任意の二つを足し合わせたものが残りの一つに対して素である、すなわち、Α, Β を足し合わせたものは Γ に対して、Β, Γ を足し合わせたものは Α に対して、そしてさらに Α, Γ を足し合わせたものは Β に対して素であると主張する。 なぜなら、Α, Β, Γ と同じ比を持つものの中で最小である二つの数を ΔΕ, ΕΖ とせよ。 すると明らかに、ΔΕ は自身を掛け合わせて Α を作り、ΕΖ を掛け合わせて Β を作り、さらに ΕΖ は自身を掛け合わせて Γ を作った。
καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
そして ΔΕ, ΕΖ は最小であるから、互いに素である。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν·
もし二つの数が互いに素であるならば、それらを足し合わせた合計も各々に対して素である。
καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
したがって ΔΖ も ΔΕ, ΕΖ の各々に対して素である。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν·
ところでまた ΔΕ も ΕΖ に対して素である。
οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
したがって ΔΖ, ΔΕ は ΕΖ に対して素である。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν·
もし二つの数がある数に対して素であるならば、それらの積も残りの数に対して素である。
ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν·
したがって、ΖΔ, ΔΕ の積は ΕΖ に対して素である。
ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
したがってまた、ΖΔ, ΔΕ の積は ΕΖ の平方に対しても素である。
. ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ·
ところで、ΖΔ, ΔΕ の積は、ΔΕ の平方と ΔΕ, ΕΖ の積を足し合わせたものである。
ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
したがって、ΔΕ の平方と ΔΕ, ΕΖ の積を足し合わせたものは、ΕΖ の平方に対して素である。
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ·
そして、ΔΕ の平方は Α であり、ΔΕ, ΕΖ の積は Β であり、ΕΖ の平方は Γ である。
οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν.
したがって、足し合わされた Α, Β は Γ に対して素である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν.
同様にして、我々は Β, Γ も Α に対して素であることを示すであろう。
λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν.
私は、Α, Γ も Β に対して素であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
なぜなら、ΔΖ は ΔΕ, ΕΖ の各々に対して素であるから、ΔΖ の平方も ΔΕ, ΕΖ の積に対して素である。
ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ·
ところで、ΔΖ の平方に等しいものは、ΔΕ, ΕΖ の平方と、ΔΕ, ΕΖ の積の2倍を足し合わせたものである。
καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί.
したがって、ΔΕ, ΕΖ の平方と ΔΕ, ΕΖ の積の2倍を足し合わせたものは、ΔΕ, ΕΖ の積に対して素である。
διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
分割することにより、 ΔΕ, ΕΖ の平方と ΔΕ, ΕΖ の積の1倍を足し合わせたものは、ΔΕ, ΕΖ の積に対して素である。
ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
さらに分割することにより、したがって ΔΕ, ΕΖ の平方は ΔΕ, ΕΖ の積に対して素である。
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ. οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν·
そして、ΔΕ の平方は Α であり、ΔΕ, ΕΖ の積は Β であり、ΕΖ の平方は Γ である。 したがって、足し合わされた Α, Γ は Β に対して素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。