§9.prop.13ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπʼ οὐδενὸς μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
如果从单位开始任意多个数连续成比例，且单位后面的数是素数，那么最大的数除了存在于这些比例数之中的数之外，不被任何数度量。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω·
设从单位开始连续比例 of 任意多个数为 Α、Β、Γ、Δ，且单位后面的数 Α 是素数；我声称，它们之中最大的数 Δ 除了 Α、Β、Γ 之外，不被任何其他数度量。
λέγω, ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτός.
因为，如果可能，设它被 Ε 度量，且 Ε 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同。
φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτος οὔκ ἐστιν.
显然，Ε 不是素数。
εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为如果 Ε 是素数且度量 Δ，它也将度量素数 Α，尽管它与 Α 不相同；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν.
因此 Ε 不是素数。
σύνθετος ἄρα.
因此它是合数。
πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
而每一个合数被某个素数度量；因此 Ε 被某个素数度量。
λέγω δή, ὅτι ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται πλὴν τοῦ Α. εἰ γὰρ ὑφʼ ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
我声称，除了 Α 之外，它不被任何其他素数度量。 因为如果 Ε 被另一个度量，且 Ε 度量 Δ，那么那一个也将度量 Δ；从而它也将度量素数 Α，尽管它与 Α 不相同；这是不可能的。
ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ.
因此 Α 度量 Ε。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ. λέγω, ὅτι ὁ Ζ οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
由于 Ε 度量 Δ，设它按 Ζ 度量它。 我声称，Ζ 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同。
εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ εἷς ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε. ἀλλὰ εἷς τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ· καὶ ὁ Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
因为如果 Ζ 与 Α、Β、Γ 中的一个相同，且按 Ε 度量 Δ，那么 Α、Β、Γ 中的一个也按 Ε 度量 Δ。 但是 Α、Β、Γ 中的一个按照 Α、Β、Γ 中的某一个度量 Δ；因此 Ε 也与 Α、Β、Γ 中的一个相同；这并不是所假定的。
οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
因此 Ζ 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντες πάλιν, ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος.
同样地，我们将证明 Ζ 被 Α 度量，再次证明 Ζ 不是素数。
εἰ γάρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ· σύνθετος ἄρα.
因为如果［Ζ 是素数］，且度量 Δ，它也将度量素数 Α，尽管它与 Α 不相同；这是不可能的；因此 Ζ 不是素数；因此它是合数。
ἅπας δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
而每一个合数被某个素数度量；因此 Ζ 被某个素数度量。
λέγω δή, ὅτι ὑφʼ ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ α.
我声称，除了 Α 之外，它不被任何其他素数度量。
εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为如果某个其他素度量 Ζ，且 Ζ 度量 Δ，那么那一个也将度量 Δ；从而它也将度量素数 Α，尽管它与 Α 不相同；这是不可能的。
ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.
因此 Α 度量 Ζ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
由于 Ε 按 Ζ 度量 Δ，因此 Ε 乘以 Ζ 得到了 Δ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
但是 Α 乘以 Γ 也得到了 Δ；因此 Α 与 Γ 的乘积等于 Ε 与 Ζ 的乘积。 因此，成比例地，Α 对 Ε 就像 Ζ 对 Γ。 但 Α 度量 Ε；因此 Ζ 也度量 Γ。
μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτός, καὶ ὅτι μετρεῖται ὑπὸ τοῦ Α. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
设它按 Η 度量它。 同样地，我们将证明 Η 与 Α、Β 中的任何一个都不相同，且它被 Α 度量。 由于 Ζ 按 Η 度量 Γ，因此 Ζ 乘以 Η 得到了 Γ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ζ, ὁ Η πρὸς τὸν Β. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός.
但是 Α 乘以 Β 也得到了 Γ；因此 Α 与 Β 的乘积等于 Ζ 与 Η 的乘积。 因此，成比例地，像 Α 对 Ζ，Η 对 Β。 但 Α 度量 Ζ；因此 Η 也度量 Β。 设它按 Θ 度量它。 同样地，我们将证明 Θ 与 Α 不相同。
καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
由于 Η 按 Θ 度量 Β，因此 Η 乘以 Θ 得到了 Β。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ὑπὸ Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ.
但是 Α 乘以自身也得到了 Β；因此 Θ 与 Η 的乘积等于 Α 的平方。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Η. μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἄτοπον.
因此，Θ 对 Α 就像 Α 对 Η。 但 Α 度量 Η；因此 Θ 也度量素数 Α，尽管它与 Α 不相同；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，最大的数 Δ 除了 Α、Β、Γ 之外，不被任何其他数度量；这即是所要求证的。