§9.prop.14ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων.
만일 최소의 수가 소수들에 의해 측정된다면, 그것은 처음에 측정하는 소수들을 제외하고는 다른 어떤 소수에 의해서도 측정되지 않을 것이다.
ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω·
왜냐하면 최소의 수 Α가 소수들인 Β, Γ, Δ에 의해 측정된다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ.
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός.
나는 Α가 Β, Γ, Δ 이외의 다른 어떤 소수에 의해서도 측정되지 않을 것이라고 주장한다. 왜냐하면, 가능하다면, 소수인 Ε에 의해 측정된다고 하고, Ε는 Β, Γ, Δ 중 어느 것과도 같지 않다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ·
그리고 Ε가 Α를 측정하므로, 그것을 Ζ를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Ε는 Ζ를 곱하여 Α를 만들었다.
καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ. ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει·
그리고 Α는 소수들인 Β, Γ, Δ에 의해 측정된다. 그런데 만일 두 수가 서로 곱하여 어떤 수를 만들고, 그들로부터 만들어진 수를 어떤 소수가 측정한다면, 그 소수는 원래 수들 중 하나도 측정할 것이다.
οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρήσουσιν.
그러므로 Β, Γ, Δ는 Ε, Ζ 중 하나를 측정할 것이다.
τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν·
그런데 그들은 Ε는 측정하지 않을 것이다.
ὁ γὰρ Ε πρῶτός ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός.
왜냐하면 Ε는 소수이고 Β, Γ, Δ 중 어느 것과도 같지 않기 때문이다.
τὸν Ζ ἄρα μετροῦσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον.
그러므로 그들은 Α보다 작은 Ζ를 측정할 것인데, 이는 불가능하다.
ὁ γὰρ Α ὑπόκειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος.
왜냐하면 Α는 Β, Γ, Δ에 의해 측정되는 최소의 수로 가정되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ·
그러므로 Β, Γ, Δ 이외의 소수는 Α를 측정하지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.15ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν.
만일 세 수가 계속하여 비례하고, 그들과 같은 비를 가진 것들 중에서 최소라면, 임의의 두 수를 더한 합은 남은 하나에 대하여 서로소이다.
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ·
세 개의 계속하여 비례하는 수이고, 그들과 같은 비를 가진 것들 중에서 최소인 것을 Α, Β, Γ라고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸς τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β.
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
나는 Α, Β, Γ 중 임의의 두 수를 더한 합이 남은 하나에 대하여 서로소라고 주장한다. 즉, Α와 Β를 더한 합은 Γ에 대하여, Β와 Γ를 더한 합은 Α에 대하여, 그리고 더욱이 Α와 Γ를 더한 합은 Β에 대하여 서로소이다. 왜냐하면 Α, Β, Γ와 같은 비를 가진 것들 중에서 최소인 두 수 ΔΕ, ΕΖ를 택하자. 그러면 분명히 ΔΕ는 자신을 곱하여 Α를 만들었고, ΕΖ를 곱하여 Β를 만들었으며, 더욱이 ΕΖ는 자신을 곱하여 Γ를 만들었다.
καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί εἰσιν, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그리고 ΔΕ, ΕΖ는 최소이므로 서로소이다.
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν·
그런데 만일 두 수가 서로소라면, 둘을 더한 합 역시 각각에 대하여 서로소이다.
καὶ ὁ ΔΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
그러므로 ΔΖ 역시 ΔΕ, ΕΖ 각각에 대하여 서로소이다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν·
그런데 또한 ΔΕ 역시 ΕΖ에 대하여 서로소이다.
οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
그러므로 ΔΖ, ΔΕ는 ΕΖ에 대하여 서로소이다.
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν·
그런데 만일 두 수가 어떤 수에 대하여 서로소라면, 그들로부터 만들어진 곱 역시 남은 하나에 대하여 서로소이다.
ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν·
그리하여 ΖΔ, ΔΕ의 곱은 ΕΖ에 대하여 서로소이다.
ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
그리하여 ΖΔ, ΔΕ의 곱은 또한 ΕΖ의 제곱에 대하여도 서로소이다.
. ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ·
그런데 ΖΔ, ΔΕ의 곱은 ΔΕ의 제곱과 ΔΕ, ΕΖ의 곱을 더한 것이다.
ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
그러므로 ΔΕ의 제곱과 ΔΕ, ΕΖ의 곱을 더한 합은 ΕΖ의 제곱에 대하여 서로 소이다.
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ·
그리고 ΔΕ의 제곱은 Α이고, ΔΕ, ΕΖ의 곱은 Β이며, ΕΖ의 제곱은 Γ이다.
οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν.
그러므로 더해진 Α, Β는 Γ에 대하여 서로소이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν.
마찬가지로 우리는 Β, Γ도 Α에 대하여 서로소임을 보일 것이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν.
나는 Α, Γ 역시 Β에 대하여 서로소라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.
왜냐하면 ΔΖ가 ΔΕ, ΕΖ 각각에 대하여 서로소이므로, ΔΖ의 제곱 역시 ΔΕ, ΕΖ의 곱에 대하여 서로소이다.
ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ·
그런데 ΔΖ의 제곱과 같은 것은 ΔΕ, ΕΖ 각각의 제곱과 ΔΕ, ΕΖ 곱의 두 배를 더한 합이다.
καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί.
그러므로 ΔΕ, ΕΖ 각각의 제곱과 ΔΕ, ΕΖ 곱의 두 배를 더한 합은 ΔΕ, ΕΖ의 곱에 대하여 서로소이다.
διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
분할하면, ΔΕ, ΕΖ 각각의 제곱과 ΔΕ, ΕΖ 곱의 한 배를 더한 합은 ΔΕ, ΕΖ의 곱에 대하여 서로소이다.
ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.
다시 분할하면, 그러므로 ΔΕ, ΕΖ 각각의 제곱은 ΔΕ, ΕΖ의 곱에 대하여 서로소이다.
καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ. οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β πρῶτοί εἰσιν·
그리고 ΔΕ의 제곱은 Α이고, ΔΕ, ΕΖ의 곱은 Β이며, ΕΖ의 제곱은 Γ이다. 그러므로 더해진 Α, Γ는 Β 에 대하여 서로소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.