§8.prop.7ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει.
若有任意多个数成比例，且第一个数整除最后一个数，则它也会整除第二个数。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
设 Α、Β、Γ、Δ 是任意多个连续比例的数，且 Α 整除 Δ；我声称，Α 也整除 Β。
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ. μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为，如果 Α 不整除 Β，则其他任何数也不会整除任何其他数；但是 Α 整除 Δ。 所以 Α 也整除 Β；这就是所要证明的。
§8.prop.8ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
若在两个数之间有连续比例的数插入，则在它们之间插入多少个连续比例的数，在与它们具有相同比的数之间也会插入同样多个连续比例的数。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
因为，设在两个数 Α、Β 之间插入连续比例的数 Γ、Δ，并且使 Α 对 Β 就像 Ε 对 Ζ；我声称，在 Α、Β 之间插入了多少个连续比例的数，在 Ε、Ζ 之间也会插入同样多个连续比例的数。
ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因为，设在与 Α、Γ、Δ、Β 具有相同比的数中，取个数与 Α、Β、Γ、Δ 相同的最小的数 Η、Θ、Κ、Λ；所以它们的两端 Η、Λ 彼此互素。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β τοῖς Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν Η, Θ, Κ, Λ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
因为 Α、Γ、Δ、Β 与 Η、Θ、Κ、Λ 具有相同的比，且 Α、Γ、Δ、Β 的个数与 Η、Θ、Κ、Λ 的个数相等，所以，通过等比，Α 对 Β 就像 Η 对 Λ。 但是 Α 对 Β 就像 Ε 对 Ζ；所以，Η 对 Λ 就像 Ε 对 Ζ。 但是 Η、Λ 是互素的，而互素的数也是最小的，最小的数以相同的次数整除具有相同比的数，较大的整除较大的，较小的整除较小的，即前项整除前项，后项整除后项。
ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ. ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω· οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκις μετροῦσιν.
所以 Η 整除 Ε 与 Λ 整除 Ζ 的次数相同。 现在，设 Η 整除 Ε 多少次，Θ、Κ 中的每一个也分别整除 Μ、Ν 中的每一个多少次；所以 Η、Θ、Κ、Λ 以相同的次数整除 Ε、Μ、Ν、Ζ。
οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
所以 Η、Θ、Κ、Λ 与 Ε、Μ、Ν、Ζ 具有相同的比。
ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν· καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
但是 Η、Θ、Κ、Λ 与 Α、Γ、Δ、Β 具有相同的比；所以 Α、Γ、Δ、Β 与 Ε、Μ、Ν、Ζ 也具有相同的比。
οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν· καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
但是 Α、Γ、Δ、Β 是连续比例的；所以 Ε、Μ、Ν、Ζ 也是连续比例的。
ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，在 Α、Β 之间插入了多少个连续比例的数，在 Ε、Ζ 之间也同样插入了多少个连续比例的数；这就是所要证明的。