§8.prop.7ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει.
임의의 개수의 수들이 비례하고, 첫째 수가 마지막 수를 측정한다면, 둘째 수도 측정할 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω·
임의의 개수의 연속하여 비례하는 수들 Α, Β, Γ, Δ가 있고, Α가 Δ를 측정한다 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
나는 Α가 Β도 측정한다고 주장한다.
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει·
왜냐하면, 만약 Α가 Β를 측정하지 못한다면, 다른 어떤 수도 다른 어떤 수를 측정하지 못할 것이나; Α는 Δ를 측정하기 때문이다.
μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ. μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β·
그러므로 Α는 Β도 측정한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§8.prop.8ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
두 수 사이에 연속하여 비례하는 수들이 끼어든다면, 그들 사이에 연속하여 비례하여 끼어드는 수들의 개수만큼, 그들과 같은 비를 가지는 수들 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
두 수 Α, Β 사이에 연속하여 비례하는 수들 Γ, Δ가 끼어든다 하고, Α의 Β에 대한 비가 Ε의 Ζ에 대한 비와 같게 되도록 만들어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
나는 Α, Β 사이에 연속하여 비례하여 끼어든 수들의 개수만큼, Ε, Ζ 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이라고 주장한다.
ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ·
왜냐하면 Α, Β, Γ, Δ의 개수와 같은 만큼, Α, Γ, Δ, Β와 같은 비를 가지는 가장 작은 수들 Η, Θ, Κ, Λ가 취해졌다고 하자.
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 그들의 양 끝 수인 Η, Λ는 서로소이다.
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β τοῖς Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν Η, Θ, Κ, Λ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
그리고 Α, Γ, Δ, Β는 Η, Θ, Κ, Λ와 같은 비 안에 있고, Α, Γ, Δ, Β의 개수는 Η, Θ, Κ, Λ의 개수와 같으므로, 그러므로 등비에 의해 Α의 Β에 대한 비는 Η의 Λ에 대한 비와 같다. 그런데 Α의 Β에 대한 비는 Ε의 Ζ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
그러므로 Η의 Λ에 대한 비 역시 Ε의 Ζ에 대한 비와 같다. 그런데 Η, Λ는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작으며, 가장 작은 수들은 같은 비를 가지는 수들을 같은 횟수만큼 측정하되, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를, 즉 전항은 전항을, 후항은 후항을 측정한다.
ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ. ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω·
그러므로 Η가 Ε를 측정하는 횟수와 Λ가 Ζ를 측정하는 횟수는 같다. 이제 Η가 Ε를 측정하는 횟수만큼, Θ, Κ의 각각도 Μ, Ν의 각각을 측정하게 하라.
οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκις μετροῦσιν.
그러므로 Η, Θ, Κ, Λ는 Ε, Μ, Ν, Ζ를 같은 횟수만큼 측정한다.
οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
그러므로 Η, Θ, Κ, Λ는 Ε, Μ, Ν, Ζ와 같은 비 안에 있다.
ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν·
그런데 Η, Θ, Κ, Λ는 Α, Γ, Δ, Β와 같은 비 안에 있다.
καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
그러므로 Α, Γ, Δ, Β 역시 Ε, Μ, Ν, Ζ와 같은 비 안에 있다.
οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν·
그런데 Α, Γ, Δ, Β는 연속하여 비례한다.
καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
그러므로 Ε, Μ, Ν, Ζ 역시 연속하여 비례한다.
ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
그러므로 Α, Β 사이에 연속하여 비례하여 끼어든 수들의 개수만큼, Ε, Ζ 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들었다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.