§8.prop.5οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
平面数彼此之间的比是由它们的边组成的比。
ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.
设 Α、Β 为平面数，且 Α 的边为数 Γ、Δ，Β 的边为 Ε、Ζ；我声称， Α 对 Β 的比是由它们的边组成的比。
λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΓΕ, ΔΖ λόγοις, οἱ Η, Θ, Κ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν θ, ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ. καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
因为，对于给定的比，即 Γ 对 Ε 的比和 Δ 对 Ζ 的比，设在 ΓΕ、ΔΖ 比中取连续最小的数 Η、Θ、Κ，使得 Γ 对 Ε 就像 Η 对 Θ，且 Δ 对 Ζ 就像 Θ 对 Κ。 且让 Δ 乘以 Ε 作出 Λ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Κ, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ δὲ Η πρὸς τὸν Κ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
又因为 Δ 乘以 Γ 作出了 Α，乘以 Ε 作出了 Λ，所以 Γ 对 Ε 就像 Α 对 Λ。 但是 Γ 对 Ε 就像 Η 对 Θ；所以，Η 对 Θ 就像 Α 对 Λ。 再次，因为 Ε 乘以 Δ 作出了 Λ，而且乘以 Ζ 作出了 Β，所以 Δ 对 Ζ 就像 Λ 对 Β。 但是 Δ 对 Ζ 就像 Θ 对 Κ；所以，Θ 对 Κ 就像 Λ 对 Β。 又已经证明，Η 对 Θ 就像 Α 对 Λ；因此，通过等比，Η 对 Κ 就像 Α 对 Β。 但是 Η 对 Κ 的比是由它们的边组成的比；因此 Α 对 Β 也是由它们的边组成的比；这就是所要证明的。
§8.prop.6ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
若有任意多个数连续比例，且第一个数不整除第二个数，则其他任何数也不会整除任何其他数。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ μετρείτω· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
设 Α、Β、Γ、 Δ、Ε 是任意多个连续比例的数，且 Α 不整除 Β；我声称，其他任何数也不会整除任何其他数。
ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ μετροῦσιν, φανερόν· οὐδὲ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
显然，Α、Β、Γ、Δ、Ε 不会彼此相邻整除；因为 Α 甚至不整除 Β。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.
我确实声称，其他任何数也不会整除任何其他数。
εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ. καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Α, Β, Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν Ζ, Η, Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ τὸν Η· οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ· ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθμὸν μετρεῖ.
因为，如果可能，设 Α 整除 Γ。 设在与 Α、Β、Γ 具有相同比的数中取连续最小的数 Ζ、Η、Θ，且它们的个数与 Α、Β、Γ 相同。 因为 Ζ、Η、Θ 与 Α、Β、Γ 具有相同的比，且 Α、Β、Γ 的个数与 Ζ、Η、Θ 的个数相等，所以，通过等比，Α 对 Γ 就像 Ζ 对 Θ。 因为 Α 对 Β 就像 Ζ 对 Η，且 Α 不整除 Β，所以 Ζ 也不整除 Η；所以 Ζ 不是单位；因为单位整除每一个数。
καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
而且 Ζ、Θ 彼此互素。
καί ἐστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ· οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.
且 Ζ 对 Θ 就像 Α 对 Γ；所以 Α 也不整除 Γ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样，我们也会证明其他任何数都不会整除任何其他数；这就是所要证明的。