§8.prop.7ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει.
何個かの数が比例し、最初の数が最後の数を測るならば、第2の数も測るであろう。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω·
何個かの連続して比例する数 Α, Β, Γ, Δ があるとし、Α は Δ を測るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
私は、Α は Β も測ると主張する。
εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει·
なぜなら、もし Α が Β を測らないならば、他のいかなる数も他のいかなる数を測ることはない。
μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Δ. μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β·
しかし Α は Δ を測る。 したがって Α は Β も測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§8.prop.8ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
二つの数の間に連続して比例する数たちが割り込むならば、それらの間に連続して比例して割り込む数と同じ個数の数たちが、それらと同じ比を持つ数たちの間にも連続して比例して割り込むであろう。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
なぜなら、二つの数 Α, Β の間に連続して比例する数 Γ, Δ が割り込むとし、Α の Β に対する比が、Ε の Ζ に対する比と同じであるように作られたとせよ。
λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
私は、Α, Β の間に連続して比例して割り込んでいる数と同じ個数の数たちが、Ε, Ζ の間にも連続して比例して割り込むであろうと主張する。
ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ·
なぜなら、Α, Β, Γ, Δ の個数と同じだけの、 Α, Γ, Δ, Β と同じ比を持つ最小の数 Η, Θ, Κ, Λ が取られたとせよ。
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって、それらの両端の数 Η, Λ は互いに素である。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β τοῖς Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν Η, Θ, Κ, Λ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
そして、Α, Γ, Δ, Β は Η, Θ, Κ, Λ と同じ比の中にあり、Α, Γ, Δ, Β の個数は Η, Θ, Κ, Λ の個数と等しいので、等比により、Α の Β に対する比は Η の Λ に対する比と同じである。 ところで、Α の Β に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
したがって、Η の Λ に対する比も Ε の Ζ に対する比と同じである。 ところで、Η, Λ は互いに素であり、互いに素な数は最小であり、最小の数は同じ比を持つ数を、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を、すなわち、前件は前件を、後件は後件を同じ回数だけ測る。
ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ καὶ ὁ Λ τὸν Ζ. ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω·
したがって、Η は Ε を、Λ は Ζ を同じ回数だけ測る。 そこで、Η が Ε を測るのと同じ回数だけ、Θ, Κ のそれぞれが Μ, Ν のそれぞれを測るとせよ。
οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκις μετροῦσιν.
したがって、Η, Θ, Κ, Λ は Ε, Μ, Ν, Ζ を同じ回数だけ測る。
οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
したがって、Η, Θ, Κ, Λ は Ε, Μ, Ν, Ζ と同じ比の中にある。
ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν·
しかし、Η, Θ, Κ, Λ は Α, Γ, Δ, Β と同じ比の中にある。
καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.
したがって、Α, Γ, Δ, Β も Ε, Μ, Ν, Ζ と同じ比の中にある。
οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν·
ところで、Α, Γ, Δ, Β は連続して比例している。
καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
したがって、Ε, Μ, Ν, Ζ も連続して比例している。
ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
したがって、 Α, Β の間に連続して比例して割り込んでいる数と同じ個数の数たちが、Ε, Ζ の間にも連続して比例して割り込んでいる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。