§8.prop.9ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
若两个数彼此互素，且在它们之间有连续比例的数插入，则在它们之间插入了多少个连续比例的数，在它们中的每一个与单位之间也会插入同样多个连续比例的数。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
设两个彼此互素的数 Α、Β，且在它们之间有连续比例的数 Γ、Δ 插入，并设单位 Ε 被给出；我声称，在 Α、Β 之间插入了多少个连续比例的数，在 Α、Β 中的每一个与单位之间也会插入同样多个连续比例的数。
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ, Η, τρεῖς δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β. εἰλήφθωσαν, καὶ ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο. φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο πεποίηκεν.
因为，设在 Α、Γ、Δ、Β 的比中取最小的两个数 Ζ、Η，三个数 Θ、Κ、Λ，并始终接续多一个，直到它们的个数与 Α、Γ、Δ、Β 的个数相等为止。 设已被取出，且设它们为 Μ、Ν、Ξ、Ο。 显然，Ζ 乘以其自身生成了 Θ，乘以 Θ 生成了 Μ，且 Η 乘以其自身生成了 Λ，乘以 Λ 生成了 Ο。
καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, ἕκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
又因为，Μ、Ν、Ξ、O 是具有与 Ζ、Η 相同比的数中最小的，而 Α、Γ、Δ、Β 也是具有与 Ζ、Η 相同比的数中最小的，且 Μ、Ν、Ξ、O 的个数与 Α、Γ、Δ、Β 的个数相等，所以 Μ、Ν、Ξ、O 中的每一个与 Α、Γ、Δ、Β 中的每一个相等；所以 Μ 与 Α 相等，且 O 与 Β 相等。 又因为 Ζ 乘以其自身生成了 Θ，所以 Ζ 根据 Ζ 中的单位数整除 Θ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.
但单位 Ε 也根据 Ζ 中的单位数整除 Ζ；所以单位 Ε 整除数 Ζ 的次数与 Ζ 整除 Θ 的次数相同。 所以，单位 Ε 对数 Ζ 就像 Ζ 对 Θ。 再次，因为 Ζ 乘以 Θ 生成了 Μ，所以 Θ 根据 Ζ 中的单位数整除 Μ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ·
但单位 Ε 也根据 Ζ 中的单位数整除数 Ζ；所以单位 Ε 整除数 Ζ 的次数与 Θ 整除 Μ 的次数相同。 所以，单位 Ε 对数 Ζ 就像 Θ 对 Μ。 但也已证明单位 Ε 对数 Ζ 就像 Ζ 对 Θ；所以，单位 Ε 对数 Ζ 就像 Ζ 对 Θ 且 Θ 对 Μ。
καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ. ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α·
但 Μ 与 Α 相等；所以，单位 Ε 对数 Ζ 就像 Ζ 对 Θ 且 Θ 对 Α。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同理，单位 Ε 对数 Η 就像 Η 对 Λ 且 Λ 对 Β。 所以，在 Α、Β 之间插入了多少个连续比例的数，在 Α、Β 中的每一个与单位 Ε 之间也同样插入了多少个连续比例的数；这就是所要证明的。