§8.prop.21ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί.
如果两个数之间有两个数连续成比例地插入，那么这些数将是相似的立体数。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
因为设在两个数 Α、Β 之间有两个数 Γ、Δ 连续成比例地插入；我声称，Α、Β 是相似的立体数。
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ τρεῖς οἱ Ε, Ζ, Η· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因为设取与 Α、Γ、Δ 具有相同比的三个数中最小的数 Ε、Ζ、Η；因此它们的两端 Ε、Η 互质。
καὶ ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
又由于在 Ε、Η 之间有一个数 Ζ 连续成比例地插入，因此数 Ε、Η 是相似的平面数。
ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ. οἱ δὲ Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ν. ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
设 Ε 的边为 Θ、K，而 Η 的边为 Λ、M。 因此由前一命题显然可知，Ε、Ζ、Η 在 Θ 对 Λ 的比以及 K 对 M 的比中是连续成比例的。 由于 Ε、Ζ、Η 是与 Α、Γ、Δ 具有相同比的数中最小的，并且 Ε、Ζ、Η 的个数与 Α、Γ、Δ 的个数相等，因此由等比定理，Ε 对 Η 就像 Α 对 Δ。 而 Ε、Η 互质，且互质的数也是最小的，而最小的数以相同的次数度量与它们具有相同比的数，较大者度量较大者，较小者度量较小者，即前件度量前件，后件度量后件；因此 Ε 度量 Α 的次数与 Η 度量 Δ 的次数相同。 那么，设在 Ν 中的单位个数与 Ε 度量 Α 的次数相同；因此 Ν 乘以 Ε 生成了 Α。
ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ· ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
而 Ε 是由 Θ、K 相乘所得之积；因此 Ν 乘以 Θ、K 之积生成了 Α。
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Δ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ. ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ξ μονάδας· ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
因此 Α 是一个立体数，其边为 Θ、K、N。 再次，由于 Ε、Ζ、Η 是与 Γ、Δ、Β 具有相同比的数中最小的，因此 Ε 度量 Γ 的次数与 Η 度量 Β 的次数相同。 那么，设在 Ξ 中的单位个数与 Ε 度量 Γ 的次数相同；因此 Η 按照 Ξ 中的单位个数度量 Β；因此 Ξ 乘以 Η 生成了 Β。
ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ· ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
而 Η 是由 Λ、M 相乘所得之积；因此 Ξ 乘以 Λ、M 之积生成了 Β。
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ· οἱ Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν.
因此 Β 是一个立体数，其边为 Λ、M、Ξ；因此 Α、Β 是立体数。
λέγω, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
现在我声称，它们也是相似的。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Θ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ·
因为由于 Ν、Ξ 乘以 Ε 生成了 Α、Γ，因此，Ν 对 Ξ 就像 Α 对 Γ，即 Ε 对 Ζ。 但 Ε 对 Ζ 就像 Θ 对 Λ 且 K 对 M；因此，Θ 对 Λ 就像 K 对 M 且 Ν 对 Ξ。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β. οἱ Α, Β ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
并且 Θ、K、N 是 Α 的边，而 Ξ、Λ、M 是 Β 的边。 因此数 Α、Β 是相似的立体数；这即是所要求证的。
§8.prop.22ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.
如果三个数连续成比例，且第一个数是平方数，那么第三个数也将是平方数。
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
设三个数 Α、Β、Γ 连续成比例，且第一个数 Α 是平方数；我声称，第三个数 Γ 也是平方数。
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
因为由于在 Α、Γ 之间有一个数 Β 连续成比例，因此 Α、Γ 是相似的平面数。
τετράγωνος δὲ ὁ Α· τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Α 是平方数；因此 Γ 也是平方数；这即是所要求证的。