§8.prop.23ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται.
如果四个数连续成比例，且第一个数是立方数，那么第四个数也将是立方数。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν.
设四个数 Α、Β、Γ、Δ 连续成比例，且 Α 是立方数；我声称，Δ 也是立方数。
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί.
因为由于在 Α、Δ 之间有两个数 Β、Γ 连续成比例，因此 Α、Δ 是相似的立体数。
κύβος δὲ ὁ Α· κύβος ἄρα καὶ ὁ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Α 是立方数；因此 Δ 也是立方数；这即是所要求证的。
§8.prop.24ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.
如果两个数具有平方数对平方数相同的比，且第一个数是平方数，那么第二个数也将是平方数。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετράγωνός ἐστιν.
因为设两个数 Α、Β 具有平方数 Γ 对平方数 Δ 相同的比，且 Α 是平方数；我声称，Β 也是平方数。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
因为由于 Γ、Δ 是平方数，因此 Γ、Δ 是相似的平面数。
τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
因此有一个数连续成比例地插入 Γ、Δ 之间。
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
而 Γ 对 Δ 就像 Α 对 Β；因此在 Α、Β 之间也连续成比例地插入一个数。
καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος· καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Α 是平方数；因此 Β 也是平方数；这即是所要求证的。
§8.prop.25ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
如果两个数具有立方数对立方数相同的比，且第一个数是立方数，那么第二个数也将是立方数。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ, κύβος δὲ ἔστω ὁ Α· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β κύβος ἐστίν.
因为设两个数 Α、Β 具有立方数 Γ 对立方数 Δ 相同的比，且 Α 是立方数；我声称，Β 也是立方数。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
因为由于 Γ、Δ 是立方数，所以 Γ、Δ 是相似的立体数；因此在 Γ、Δ 之间连续成比例地插入两个数。
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς· ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
而凡是连续成比例地插入 Γ、Δ 之间的数有多少，插入与它们具有相同比的数之间的数也就有多少；所以，在 Α、Β 之间也连续成比例地插入两个数。
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστι κύβος ὁ Α, κύβος ἄρα καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
设它们为 Ε、Ζ 插入。 由于四个数 Α、Ε、Ζ、Β 连续成比例，且 Α 是立方数，因此 Β 也是立方数；这即是所要求证的。
§8.prop.26οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
相似的平面数具有平方数对平方数相同的比。
ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
设 Α、Β 是相似的平面数；我声称，Α 对 Β 具有平方数对平方数相同的比。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
因为由于 Α、Β 是相似的平面数，因此在 Α、Β 之间连续成比例地插入一个数。
ἐμπιπτέτω καὶ ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν.
设它插入且为 Γ，并设取与 Α、Γ、Β 具有相同比的数中最小的数 Δ、Ε、Ζ；因此它们的两端 Δ、Ζ 是平方数。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
又由于 Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Β，且 Δ、Ζ 是平方数，因此 Α 对 Β 具有平方数对平方数相同的比；这即是所要求证的。
§8.prop.27οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
相似的立体数具有立方数对立方数相同的比。
ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.
设 Α、Β 是相似的立体数；我声称，Α 对 Β 具有立方数对立方数相同的比。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
因为由于 Α、Β 是相似的立体数，因此在 Α、Β 之间连续成比例地插入两个数。
ἐμπιπτέτωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ ε, Ζ, Η, Θ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν.
设它们为 Γ、Δ 插入，并设取与 Α、Γ、Δ、Β 具有相同比的、且个数与它们相等的最小的数 Ε、Ζ、Η、Θ；因此它们的两端 Ε、Θ 是立方数。
καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且 Ε 对 Θ 就像 Α 对 Β；因此 Α 对 Β 也具有立方数对立方数相同的比；这即是所要求证的。