§8.prop.20ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμός, ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί.
如果两个数之间有一个数连续成比例地插入，那么这些数将是相似的平面数。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
因为设在两个数 Α、Β 之间有一个数 Γ 连续成比例地插入；我声称，Α、Β 是相似的平面数。
εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ οἱ Δ, Ε· ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ὁσάκις δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ·
设取与 Α、Γ 具有相同比的数中最小的数 Δ、Ε；因此 Δ 尽力度量 Α 的次数与 Ε 尽力度量 Γ 的次数相同。
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
那么，设在 Ζ 中的单位个数与 Δ 度量 Α 的次数相同；因此 Ζ 乘以 Δ 生成了 Α。
ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ, Ζ. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η. ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας· ὁ Η ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
所以 Α 是一个平面数，其边为 Δ、Ζ。 再次，由于 Δ、Ε 是与 Γ、Β 具有相同比的数中最小的，因此 Δ 度量 Γ 的次数与 Ε 度量 Β 的次数相同。 那么，设在 Η 中的单位个数与 Ε 度量 Β 的次数相同；因此 Ε 按照 Η 中的单位个数度量 Β；因此 Η 乘以 Ε 生成了 Β。
ὁ Β ἄρα ἐπίπεδός ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η. οἱ Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
因此 Β 是平面数，其边为 Ε、Η。 因此 Α、Β 是平面数。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
现在我声称，它们也是相似的。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸς τὸν Β. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε·
因为由于 Ζ 乘以 Δ 生成了 Α，而乘以 Ε 生成了 Γ，因此，Δ 对 Ε 就像 Α 对 Γ，即 Γ 对 Β。 再次，由于 Ε 乘以 Ζ、Η 中的每一个生成了 Γ、Β，因此，Ζ 对 Η 就像 Γ 对 Β。 但 Γ 对 Β 就像 Δ 对 Ε；因此，Δ 对 Ε 就像 Ζ 对 Η。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且内项交替地，Δ 对 Ζ 就像 Ε 对 Η。 因此 Α、Β 是相似的平面数；因为它们的边成比例；这即是所要求证的。