§8.prop.21ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί.
二つの数の間に二つの数が比例して中間に落ち込むならば、それらの数は相似な立体数である。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ·
なぜなら、二つの数 Α, Β の間に二つの数 Γ, Δ が比例して中間に落ち込むとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
私は、Α, Β は相似な立体数である、と主張する。
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ τρεῖς οἱ Ε, Ζ, Η·
なぜなら、Α, Γ, Δ と同じ比を持つものの中で最小の三つの数 Ε, Ζ, Η が取られたとせよ。
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって、それらの両端の数 Ε, Η は互いに素である。
καὶ ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
そして、Ε, Η の間に一つの数 Ζ が比例して中間に落ち込んでいるので、したがって、数 Ε, Η は相似な平面数である。
ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ. οἱ δὲ Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
そこで、Ε の辺は Θ, Κ であり、Η の辺は Λ, Μ であるとせよ。 したがって、前の命題から明らかなように、Ε, Ζ, Η は、Θ の Λ に対する比、および Κ の Μ に対する比において、連続して比例する。 そして、Ε, Ζ, Η は Α, Γ, Δ と同じ比を持つものの中で最小であり、かつ Ε, Ζ, Η の個数は Α, Γ, Δ の個数と等しいので、したがって、等比の理により、Ε の Η に対する比は、Α の Δ に対する比と同じである。 ところで、Ε, Η は互いに素であり、互いに素な数はまた最小であり、最小の数は同じ比を持つ数を、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を、すなわち、前件は前件を、後件は後件を同じ回数だけ測る。
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ν. ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって、Ε が Α を測る回数と、Ｈが Δ を測る回数は等しい。 そこで、Ε が Α を測る回数と同じだけの単位が Ν の中にあるとせよ。 したがって、Ν は Ε を掛けて Α を作った。
ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ·
ところで、Ε は Θ, Κ の積である。
ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって、Ν は Θ, Κ の積に掛けて Α を作った。
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Δ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ. ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ξ μονάδας·
ゆえに、Α は立体数であり、その辺は Θ, Κ, Ν である。 再び、Ε, Ζ, Η は Γ, Δ, Β と同じ比を持つものの中で最小であるから、したがって、Ε が Γ を測る回数と、 Η が Β を測る回数は等しい。 そこで、Ε が Γ を測る回数と同じだけの単位がの中にあるとせよ。 したがって、Ｈはにある単位の数だけ Β を測る。
ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、は Η を掛けて Β を作った。
ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ·
ところで、Ｈは Λ, Μ の積である。
ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、は Λ, Μ の積に掛けて Β を作った。
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ·
ゆえに、Ｂは立体数であり、その辺は Λ, Μ, である。
οἱ Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν.
したがって、Α, Β は立体数である。
λέγω, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
私は、さらにそれらが相似でもある、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Θ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ·
なぜなら、Ν, は Ε を掛けて Α, Γ を作ったので、したがって、Ν のに対する比は、Α の Γ に対する比と同じであり、すなわち Ε の Ζ に対する比と同じである。 ところで、Ε の Ζ に対する比は、Θ の Λ に対する比、および Κ の Μ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β. οἱ Α, Β ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν·
したがって、Θ の Λ に対する比は、Κ の Μ に対する比、および Ν のに対する比と同じである。 そして、Θ, Κ, Ν は Α の辺であり、, Λ, Μ は Β の辺である。 したがって、数 Α, Β は相似な立体数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§8.prop.22ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.
三つの数が連続して比例し、第一の数が平方数であるならば、第三の数も平方数である。
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος ἔστω·
三つの数 Α, Β, Γ が連続して比例するとし、第一の数 Α は平方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
私は、第三の数 Γ も平方数である、と主張する。
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
なぜなら、Α, Γ の間に一つの数 Β が比例して中間に存在するので、したがって、Α, Γ は相似な平面数である。
τετράγωνος δὲ ὁ Α·
ところで、Α は平方数である。
τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ·
したがって、Γ も平方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。