§8.prop.21ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί.
만일 두 수 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어든다면, 그 수들은 닮은 입체수일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ·
왜냐하면 두 수 Α, Β 사이에 두 수 Γ, Δ가 계속비례하여 끼어든다고 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
나는 Α, Β가 닮은 입체 수라고 주장한다.
εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ τρεῖς οἱ Ε, Ζ, Η·
왜냐하면 Α, Γ, Δ와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작은 세 수 Ε, Ζ, Η가 취해졌다고 하자.
οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 그것들의 양 끝 수인 Ε, Η는 서로소이다.
καὶ ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
그리고 Ε, Η 사이에 한 수 Ζ가 계속비례하여 끼어들어 있으므로, 그러므로 수 Ε, Η는 닮은 평면수이다.
ἔστωσαν οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ. φανερὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ. οἱ δὲ Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
그러므로 Ε의 변은 Θ, Κ이고, Η의 변은 Λ, Μ이라고 하자. 그러므로 앞의 명제로부터 분명하듯이, Ε, Ζ, Η는 Θ의 Λ에 대한 비와 Κ의 Μ에 대한 비 모두에서 계속비례한다. 그리고 Ε, Ζ, Η는 Α, Γ, Δ와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작고, 그리고 Ε, Ζ, Η의 개수는 Α, Γ, Δ의 개수와 같으므로, 그러므로 등비의 이치에 따라, Ε의 Η에 대한 비는 Α의 Δ에 대한 비와 같다. 그런데 Ε, Η는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 가장 작으며, 가장 작은 수들은 자신과 같은 비를 가지는 수들을, 큰 것은 큰 것을, 작은 것은 작은 것을, 즉 전건은 전건을, 후건은 후건을 같은 횟수만큼 잰다.
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Δ. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ν. ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Ε가 Α를 재는 횟수와 Η가 Δ를 재는 횟수는 같다. 이제, Ε가 Α를 재는 횟수만큼의 단위들이 Ν 안에 있다고 하자. 그러므로 Ν은 Ε를 곱하여 Α 를 만들었다.
ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ·
그런데 Ε는 Θ, Κ의 곱이다.
ὁ Ν ἄρα τὸν ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Ν은 Θ, Κ의 곱에 곱하여 Α를 만들었다.
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν. πάλιν, ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Γ, Δ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Β. ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ. ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ξ μονάδας·
따라서 Α는 입체수이고, 그것의 변은 Θ, Κ, Ν이다. 다시, Ε, Ζ, Η는 Γ, Δ, Β와 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작으므로, 그러므로 Ε가 Γ를 재는 횟수와 Η가 Β를 재는 횟수는 같다. 이제, Ε가 Γ를 재는 횟수만큼의 단위들이 Ξ 안에 있다고 하자. 그러므로 Η는 Ξ 안에 있는 단위들의 수만큼 Β를 잰다.
ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 Ξ는 Η를 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ·
그런데 Η는 Λ, Μ의 곱이다.
ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 축은 Λ, Μ의 곱에 곱하여 Β를 만들었다.
στερεὸς ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ·
따라서 Β는 입체 수이고, 그것의 변은 Λ, Μ, Ξ이다.
οἱ Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν.
그러므로 Α, Β는 입체수이다.
λέγω, ὅτι καὶ ὅμοιοι.
나는 그것들이 닮았다고도 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Θ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ·
왜냐하면 Ν, Ξ는 Ε를 곱하여 Α, Γ를 만들었으므로, 그러므로 Ν의 Ξ에 대한 비는 Α의 Γ에 대한 비와 같고, 즉 Ε의 Ζ에 대한 비와 같다. 그런데 Ε의 Ζ에 대한 비는 Θ의 Λ에 대한 비와 같고 Κ의 Μ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β. οἱ Α, Β ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν·
그러므로 또한 Θ의 Λ에 대한 비는 Κ의 Μ에 대한 비와 같고 Ν의 Ξ에 대한 비와 같다. 그리고 Θ, Κ, Ν은 Α의 변이고, Ξ, Λ, Μ은 Β의 변이다. 그러므로 수 Α, Β는 닮은 입체수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§8.prop.22ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.
만일 세 수가 계속비례하고 첫째 수가 제곱수이면, 셋째 수도 제곱수일 것이다.
ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος ἔστω·
세 수 Α, Β, Γ가 계속비례하고 첫째 수 Α가 제곱수 라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
나는 셋째 수 Γ도 제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
왜냐하면 Α, Γ 사이에 한 수 Β가 계속비례하므로, 그러므로 Α, Γ는 닮은 평면수이다.
τετράγωνος δὲ ὁ Α·
그런데 Α는 제곱수이다.
τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ·
그러므로 Γ도 제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.