§7.prop.13ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται.
如果四个数成比例，它们交互地也成比例。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
设四个成比例的数 A、B、Γ、Δ，正如 A 对 B，Γ 对 Δ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
我且声称，它们交互地也成比例，正如 A 对 Γ，B 对 Δ。 因为，既然 A 对 B，正如 Γ 对 Δ，所以 A 是 B 的什么部分或若干部分，Γ 也就是 Δ 的相同部分或若干部分。
ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
因此，交互地，A 是 Γ 的什么部分或若干部分，B 也就是 Δ 的相同部分或若干部分。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，正如 A 对 Γ，B 对 Δ；这就是所要证明的。
§7.prop.14ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται.
如果有任意多个数，且有另外与它们个数相等的数，两两组合时在相同比中，那么等比（等间隔比）地，它们也在相同比中。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
设任意多个数 A、B、Γ，以及另外与它们个数相等、两两组合在相同比中的数 Δ、E、Z，正如 A 对 B，Δ 对 E，又正如 B 对 Γ，E 对 Z。
λέγω, ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ. ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ·
我且声称，等比地，正如 A 对 Γ，Δ 也对 Z。 因为，既然 A 对 B，正如 Δ 对 E，所以交互地，正如 A 对 Δ，B 也对 E。 再次，既然 B 对 Γ，正如 E 对 Z，所以交互地，正如 B 对 E，Γ 也对 Z。 而正如 B 对 E，A 也对 Δ；所以，正如 A 对 Δ，Γ 也对 Z。
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，交互地，正如 A 对 Γ，Δ 也对 Z；这就是所要证明的。
§7.prop.15ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον.
如果一单位度（量）任一数，且另一个数同样多次度（量）其他任一数，那么交互地，单位也将同样多次度（量）第三个数，而第二个数度（量）第四个数。
μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω·
因为，设单位 A 度（量）任一数 BΓ，而另一个数 Δ 同样多次度（量）其他任一数 ΕΖ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ ἀριθμόν.
我且声称，交互地，单位 A 同样多次度（量）数 Δ，而 BΓ 也度（量） ΕΖ。 因为，既然单位 A 度（量）数 BΓ，与 Δ 度（量） ΕΖ 次数相同，所以，在 BΓ 中有多少个单位，在 ΕΖ 中也有多少个等于 Δ 的数。 设把 BΓ 分割为它之中的单位 ΒΗ、ΗΘ、ΘΓ，把 ΕΖ 分割为等于 Δ 的数 ΕΚ、ΚΛ、ΛΖ。 那么 ΒΗ、ΗΘ、ΘΓ 的个数将等于 ΕΚ、ΚΛ、ΛΖ 的个数。 并且既然单位 ΒΗ、ΗΘ、ΘΓ 彼此相等，数 ΕΚ、ΚΛ、ΛΖ 也彼此相等，且单位 ΒΗ、ΗΘ、ΘΓ 的个数等于数 ΕΚ、ΚΛ、ΛΖ 的个数，所以，正如单位 ΒΗ 对数 ΕΚ，单位 ΗΘ 也就对数 ΚΛ，且单位 ΘΓ 也对数 ΛΖ。
ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ.
因此，正如前项中的一个对后项中的一个，所有前项也就对所有后项；所以，正如单位 ΒΗ 对数 ΕΚ， BΓ 也就对 ΕΖ。 而单位 ΒΗ 等于单位 A，数 ΕΚ 等于数 Δ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，正如单位 A 对数 Δ， BΓ 也就对 ΕΖ。 因此，单位 A 同样多次度（量）数 Δ，而 BΓ 也度（量） ΕΖ；这就是所要证明的。