§7.prop.16ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.
如果两个数互相相乘得到某些数，则由它们乘得的数将彼此相等。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
设有两个数 A、B，且 A 乘以 B 得到 Γ，而 B 乘以 A 得到 Δ。
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
我且声称，Γ 等于 Δ。 因为，既然 A 乘以 B 得到了 Γ，所以 B 按照 A 中的单位数度（量） Γ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας.
而单位 E 也按照 A 中的单位数度（量）数 A；所以单位 E 度（量）数 A，与 B 度（量） Γ 次数相同。 因此交互地，单位 E 度（量）数 B，与 A 度（量） Γ 次数相同。 再次，既然 B 乘以 A 得到了 Δ，所以 A 按照 B 中的单位数度（量） Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ. ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ· ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον τῶν Γ, Δ μετρεῖ.
而单位 E 也按照 B 中的单位数度（量）数 B；所以单位 E 度（量）数 B，与 A 度（量） Δ 次数相同。 而单位 E 度（量）数 B，曾与 A 度（量） Γ 次数相同；所以 A 同样多次度（量） Γ、Δ 中的每一个。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 Γ 等于 Δ；这就是所要证明的。
§7.prop.17ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν.
如果一个数乘以两个数得到某些数，则由它们乘得的数将与被乘的数有相同的比。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Γ πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε ποιείτω·
因为，设数 A 乘以两个数 B、Γ 得到 Δ、E。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
我且声称，正如 B 对 Γ，Δ 也对 E。 因为，既然 A 乘以 B 得到了 Δ，所以 B 按照 A 中的单位数度（量） Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Δ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Β πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而单位 Z 也按照 A 中的单位数度（量）数 A；所以单位 Z 度（量）数 A，与 B 度（量） Δ 次数相同。 所以，正如单位 Z 对数 A，B 也对 Δ。 确实由于同样的原因，正如单位 Z 对数 A，Γ 也对 E；所以，正如 B 对 Δ，Γ 也对 E。 因此交互地，正如 B 对 Γ，Δ 也对 E；这就是所要证明的。
§7.prop.18ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν.
如果两个数乘以同一个数得到某些数，则由它们乘得的数将与乘数有相同的比。
δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε ποιείτωσαν·
因为，设两个数 A、B 乘以某个数 Γ 得到 Δ、E。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
我且声称，正如 A 对 B，Δ 也对 E。 因为，既然 A 乘以 Γ 得到了 Δ，所以 Γ 乘以 A 也得到了 Δ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
确实由于同样的原因，Γ 乘以 B 也得到了 E。
ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α, Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ, Ε πεποίηκεν.
所以数 Γ 乘以两个数 A、B 得到了 Δ、E。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，正如 A 对 B，Δ 也对 E；这就是所要证明的。