§7.prop.10ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
如果一个数是另一个数的若干部分，而另一个数也是另一个数的相同若干部分，那么交互地，第一个数是第三个数的什么若干部分或部分，第二个数也就是第四个数的相同若干部分或相同部分。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη·
因为，设数 AB 是数 Γ 的若干部分，且另一个数 ΔΕ 是另一个数 Ζ 的相同若干部分。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.
我且声称，交互地，AB 是 ΔΕ 的什么若干部分或部分，Γ 也就是 Ζ 的相同若干部分或相同部分。
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
因为，既然 AB 是 Γ 的什么若干部分， ΔΕ 也是 Ζ 的相同若干部分，所以，在 AB 中 Γ 的部分的个数，就与在 ΔΕ 中 Ζ 的部分的个数相同。 设把 AB 分割为 Γ 的部分 ΑΗ、ΗΒ，把 ΔΕ 分割为 Ζ 的部分 ΔΘ、ΘΕ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
那么 ΑΗ、ΗΒ 的个数将等于 ΔΘ、ΘΕ 的个数。 并且既然，ΑΗ 是 Γ 的什么部分，ΔΘ 也是 Ζ 的相同部分，所以交互地，ΑΗ 是 ΔΘ 的什么部分或若干部分，Γ 也就是 Ζ 的相同部分或若干部分。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καί ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为相同的理由，同样地，ΗΒ 是 ΘΕ 的什么部分或若干部分，Γ 也就是 Ζ 的相同部分或若干部分；因此，AB 是 ΔΕ 的什么若干部分或部分，Γ 也就是 Ζ 的相同若干部分或相同部分；这就是所要证明的。
§7.prop.11ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς ὅλος πρὸς ὅλον.
如果全体对全体，正如引去之数对引去之数，那么其余数对其余数，也正如全体对全体。
ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ·
设全体 AB 对全体 ΓΔ，正如引去之数 AE 对引去之数 ΓΖ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ.
ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
我且声称，其余数 EB 对其余数 ΖΔ，也正如全体 AB 对全体 ΓΔ。 既然 AB 对 ΓΔ，正如 AE 对 ΓΖ，所以 AB 是 ΓΔ 的什么部分或若干部分，AE 也就是 ΓΖ 的相同部分或若干部分。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ, οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，其余数 EB 也是其余数 ΖΔ 的相同部分或若干部分，这与 AB 对 ΓΔ 所占的相同。 所以，EB 对 ΖΔ，正如 AB 对 ΓΔ；这就是所要证明的。
§7.prop.12ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
如果有任意多个数成比例，那么前项中的一个对后项中的一个，正如所有前项对所有后项。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
设任意多个成比例的数 A、B、Γ、Δ，正如 A 对 B，Γ 对 Δ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη.
我且声称，正如 A 对 B，两者之和 A、Γ 也就对两者之和 B、Δ。 因为，既然 A 对 B，正如 Γ 对 Δ，所以 A 是 B 的什么部分或若干部分，Γ 也就是 Δ 的相同部分或若干部分。
καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，两者之和 A、Γ 也是两者之和 B、Δ 的相同部分或若干部分，这与 A 对 B 所占的相同。 所以，正如 A 对 B，两者之和 A、Γ 也就对两者之和 B、Δ；这就是所要证明的。