§7.prop.13ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται.
만약 네 개의 수가 비례한다면, 서로 바꾸어도 비례할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
네 개의 비례하는 수들을 A, B, Γ, Δ라 하고, A가 B에 대한 비가 Γ가 Δ에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
나는 서로 바꾸어도 비례할 것인바, 즉 A가 Γ에 대한 비가 B가 Δ에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 B에 대한 비가 Γ가 Δ에 대한 비와 같으므로, 따라서 A가 B의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 Γ도 Δ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
그러므로 서로 바꾸어도, A가 Γ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 B도 Δ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ·
그러므로 A가 Γ에 대한 비는 B가 Δ에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.14ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται.
만약 몇 개든 임의의 수들이 있고, 이들과 개수가 같으며 둘씩 짝지어 취했을 때 동일한 비에 있는 다른 수들이 있다면, 등비로도(등간격비에 의해서도) 동일한 비에 있을 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
몇 개든 임의의 수들을 A, B, Γ라 하고, 이들과 개수가 같으며 둘씩 짝지어 동일한 비에 있는 다른 수들을 Δ, E, Z라 하자. 즉, A가 B에 대한 비가 Δ가 E에 대한 비와 같고, B가 Γ에 대한 비가 E가 Z에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ. ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν δ·
나는 등비로도, A가 Γ에 대한 비가 Δ가 Z에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 B에 대한 비가 Δ가 E에 대한 비와 같으므로, 따라서 서로 바꾸면 A가 Δ에 대한 비는 B가 E에 대한 비와 같다. 다시, B가 Γ에 대한 비가 E가 Z에 대한 비와 같으므로, 따라서 서로 바꾸면 B가 E에 대한 비는 Γ가 Z에 대한 비와 같다. 그런데 B가 E에 대한 비는 A가 Δ에 대한 비와 같으므로, 따라서 A가 Δ에 대한 비는 Γ가 Z에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
그러므로 서로 바꾸면 A가 Γ에 대한 비는 Δ가 Z에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.15ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον.
만약 단위가 어떤 수를 재고, 다른 수가 또 다른 수를 같은 횟수만큼 잰다면, 서로 바꾸어도 같은 횟수만큼 단위는 세 번째 수를, 두 번째 수는 네 번째 수를 잴 것이다.
μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω·
왜냐하면 단위 A는 어떤 수 BΓ를 잰다고 하고, 다른 수 Δ는 또 다른 수 ΕΖ를 같은 횟수만큼 잰다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ ἀριθμόν.
나는 서로 바꾸어도 같은 횟수만큼 단위 A는 수 Δ를, BΓ는 ΕΖ를 잰다고 주장한다. 왜냐하면 단위 A가 수 BΓ를 재는 횟수와 Δ가 ΕΖ를 재는 횟수가 같으므로, 따라서 BΓ 안에 있는 단위의 개수만큼 ΕΖ 안에도 Δ와 같은 수들이 있다. BΓ를 그 안에 있는 단위들인 ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ로 나누고, ΕΖ를 Δ와 같은 수들인 ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ로 나누자. 그러면 ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ의 개수는 ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ의 개수와 같을 것이다. 그리고 단위들인 ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ는 서로 같고, 수들인 ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ도 서로 같으며, 단위들인 ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ의 개수가 수들인 ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ의 개수와 같으므로, 따라서 단위 ΒΗ가 수 ΕΚ에 대한 비는 단위 ΗΘ가 수 ΚΛ에 대한 비, 그리고 단위 ΘΓ가 수 ΛΖ에 대한 비와 같을 것이다.
ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ.
그러므로 선행하는 것들 중 하나가 후행하는 것들 중 하나에 대한 비는 선행하는 모든 것들이 후행하는 모든 것들에 대한 비와 같을 것이므로, 따라서 단위 ΒΗ가 수 ΕΚ에 대한 비는 BΓ가 ΕΖ에 대한 비와 같다. 그런데 단위 ΒΗ는 단위 A와 같고, 수 ΕΚ는 수 Δ와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ·
그러므로 단위 A가 수 Δ에 대한 비는 BΓ가 ΕΖ에 대한 비와 같다. 그러므로 단위 A가 수 Δ를 재는 횟수와 BΓ가 수 ΕΖ를 재는 횟수가 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.