§7.prop.13ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται.
もし4つの数が比例するならば、交互にしても比例するであろう。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
4つの比例する数を Α, Β, Γ, Δ とし、Α が Β に対するよう、Γ も Δ に対するとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
私は、交互にしても比例する、すなわち Α が Γ に対するよう、Β も Δ に対すると主張する。 なぜなら、Α が Β に対するよう Γ も Δ に対するので、したがって Α が Β の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、Γ も Δ に対してもある。
ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
したがって、交互にしても、Α が Γ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、Β も Δ に対してもある。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ·
したがって、Α が Γ に対するよう、Β は Δ に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.14ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται.
もし何個でも任意の数があり、かつそれらと個数の等しい他の数があって、2つずつ取られたとき同じ比にあるならば、等間隔比によっても同じ比にあるであろう。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ·
何個でも任意の数を Α, Β, Γ とし、それらと個数の等しい他の数で、2つずつ取られたときに同じ比にあるものを Δ, Ε, Ζ とせよ。 すなわち、Α が Β に対するよう Δ が Ε に対し、Β が Γ に対するよう Ε が Ζ に対するとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ. ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν δ·
私は、等間隔（等間隔比によって）でも、Α が Γ に対するよう、Δ も Ζ に対すると主張する。 なぜなら、Α が Β に対するよう Δ が Ε に対するので、したがって交互にしても、Α が Δ に対するよう、Β は Ε に対する。 再び、Β が Γ に対するよう Ε が Ζ に対するので、したがって交互にしても、Β が Ε に対するよう、Γ は Ζ に対する。 しかし、Β が Ε に対するよう、Α も Δ に対する。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ·
したがって、Α が Δ に対するよう、Γ も Ζ に対する。
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
したがって、交互にしても、Α が Γ に対するよう、Δ は Ζ に対する。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.15ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον.
もし単位がある数を測り、別の数が他のある数を同じ回数だけ測るならば、交互にしても、同じ回数だけ、単位は第3の数を、第2の数は第4の数を測るであろう。
μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν ΕΖ μετρείτω·
なぜなら、単位 Α はある数 ΒΓ を測るとし、別の数 Δ も他のある数 ΕΖ を同じ回数だけ測るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν ΛΖ ἀριθμόν.
私は、交互にしても、同じ回数だけ、単位 Α は数 Δ を、ΒΓ は ΕΖ を測ると主張する。 なぜなら、単位 Α が数 ΒΓ を測るのと同じ回数だけ、 Δ も ΕΖ を測るので、したがって ΒΓ の中にある単位の個数と同じ個数の、Δ に等しい数が ΕΖ の中にもある。 ΒΓ をその中にある単位である ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ に分割し、ΕΖ を Δ に等しい数である ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ に分割せよ。 すると、ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ の個数は ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ の個数に等しくなる。 そして、単位である ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ は互いに等しく、数である ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ も互いに等しく、かつ単位である ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ の個数は数である ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ の個数に等しいので、したがって、単位 ΒΗ が数 ΕΚ に対するよう、単位 ΗΘ も数 ΚΛ に対し、単位 ΘΓ も数 ΛΖ に対するようになるであろう。
ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους·
したがって、先行するもののうちの一つが後行するもののうちの一つに対するように、すべての先行するものがすべての後行するものに対するようにもなるであろう。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ.
したがって、単位 ΒΗ が数 ΕΚ に対するよう、ΒΓ も ΕΖ に対する。 しかし、単位 ΒΗ は単位 Α に等しく、数 ΕΚ は数 Δ に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ. ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ·
したがって、単位 Α が数 Δ に対するよう、ΒΓ も ΕΖ に対する。 したがって、単位 Α が数 Δ を測るのと同じ回数だけ、ΒΓ も ΕΖ を測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。