§5.prop.15τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
部分对于对应取出的同倍量具有相同的比。
ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ·
因为，设 AB 为 Γ 的等倍量，ΔE 为 Ζ 的等倍量。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ·
我说，正如 Γ 对 Ζ， AB 也对 ΔE。 因为，既然 AB 是 Γ 的等倍量，ΔE 是 Ζ 的等倍量，所以，在 AB 中有多少个等于 Γ 的量，在 ΔE 中也有同样多个等于 Ζ 的量。 设 AB 被分割为等于 Γ 的量 AH, HΘ, ΘB，ΔE 被分割为等于 Ζ 的量 ΔK, KΛ, ΛE；那么 AH, HΘ, ΘB 的个数将等于 ΔK, KΛ, ΛE 的个数。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
并且，既然 AH, HΘ, ΘB 彼此相等， ΔK, KΛ, ΛE 也彼此相等，所以正如 AH 对 ΔK，HΘ 也对 KΛ，且 ΘB 也对 ΛE。 因此，正如前项之一对后项之一，所有前项之和也对所有后项之和；因此，正如 AH 对 ΔK， AB 也对 ΔE。 而 AH 等于 Γ，ΔK 等于 Ζ；因此，正如 Γ 对 Ζ，AB 也对 ΔE。 因此，部分对于对应取出的同倍量具有相同的比；这就是所要证明的。
§5.prop.16ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται.
如果四个量成比例，那么它们更替也成比例。
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
设四个成比例的量为 A, B, Γ, Δ，正如 A 对 B，Γ 也对 Δ；我说，它们更替也成比例，正如 A 对 Γ，B 也对 Δ。 因为，设取 A, B 的同倍量 E, Z，以及 Γ, Δ 的另一些任意取的同倍量 H, Θ。 并且，既然 E 是 A 的等倍量，Z 是 B 的等倍量，而部分对于同样倍增的量具有相同的比，所以，正如 A 对 B，E 也对 Z。 而正如 A 对 B，Γ 也对 Δ；因此，正如 Γ 对 Δ，E 也对 Z。 再次，由于 H, Θ 是 Γ, Δ 的同倍量，所以，正如 Γ 对 Δ，H 也对 Θ。 而正如 Γ 对 Δ，E 也对 Z；因此，正如 E 对 Z，H 也对 Θ。 而如果四个量成比例，且第一量大于第三量，那么第二量也将大于第四量，若相等则相等，若小于则小于。
εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
因此，若 E 大于 H，则 Z 也大于 Θ，若相等则相等，若小于则小于。
καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且 E, Z 是 A, B 的同倍量，而 H, Θ 是 Γ, Δ 的另一些任意取的同倍量；因此，正如 A 对 Γ，B 也对 Δ。 因此，如果四个量成比例，那么它们更替也成比例；这就是所要证明的。