§5.prop.17ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
如果合成的量成比例，那么分离的量也将成比例。
ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ· λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ. ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ·
设合成的成比例的量为 AB, BE, ΓΔ, ΔΖ，正如 AB 对 BE，ΓΔ 也对 ΔΖ；我说，分离的量也将成比例，正如 AE 对 EB，ΓΖ 也对 ΔΖ。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ·
因为，设取 AE, EB, ΓΖ, ΖΔ 的等倍量 HΘ, ΘK, ΛM, MN，以及 EB, ΖΔ 的另一些任意取的等倍量 KΞ, NΠ。 并且，既然 HΘ 是 AE 的等倍量，ΘK 是 EB 的等倍量，所以 HΘ 是 AE 的等倍量，HK 也是 AB 的等倍量。 而 HΘ 是 AE 的等倍量，ΛM 是 ΓΖ 的等倍量；因此 HK 是 AB 的等倍量，ΛM 也是 ΓΖ 的等倍量。 再次，由于 ΛM 是 ΓΖ 的等倍量，MN 是 ΖΔ 的等倍量，所以 ΛM 是 ΓΖ 的等倍量，ΛN 也是 ΓΔ 的等倍量。 而 ΛM 是 ΓΖ 的等倍量，HK 是 AB 的等倍量；因此 HK 是 AB 的等倍量，ΛN 也是 ΓΔ 的等倍量。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ. τὰ ΗΚ, ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.
因此 HK, ΛN 是 AB, ΓΔ 的等倍量。
πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
再次，由于 ΘK 是 EB 的等倍量，MN 是 ΖΔ 的等倍量，且 KΞ 也是 EB 的等倍量，NΠ 也是 ΖΔ 的等倍量，合起来的 ΘΞ 也是 EB 的等倍量，MΠ 也是 ΖΔ 的等倍量。 并且，既然正如 AB 对 BE，ΓΔ 也对 ΔΖ，且已取 AB, ΓΔ 的等倍量 HK, ΛN，以及 EB, ΖΔ 的等倍量 ΘΞ, MΠ，因此，如果 HK 大于 ΘΞ，则 ΛN 也大于 MΠ，若相等则相等，若小于则小于。
ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ·
那么，设 HK 大于 ΘΞ；减去共同的 ΘK，则 HΘ 也大于 KΞ。 然而若 HK 大于 ΘΞ，则 ΛN 也大于 MΠ；因此 ΛN 也大于 MΠ，且减去共同的 MN，则 ΛM 也大于 NΠ；所以如果 HΘ 大于 KΞ，则 ΛM 也大于 NΠ。
ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
同样，我们也可以证明，如果 HΘ 等于 KΞ，则 ΛM 也等于 NΠ，若小于则小于。
καί ἐστι τὰ μὲν ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
且 HΘ, ΛM 是 AE, ΓΖ 的等倍量，而 KΞ, NΠ 是 EB, ΖΔ 的另一些任意取的等倍量；因此，正如 AE 对 EB，ΓΖ 也对 ΖΔ。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.
ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果合成的量成比例，那么分离的量也将成比例；这就是所要证明的。
§5.prop.18ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
如果分离的量成比例，那么合成的量也将成比例。
ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.
设分离的成比例的量为 AE, EB, ΓΖ, ΖΔ，正如 AE 对 EB，ΓΖ 也对 ΖΔ；我说，合成的量也将成比例，正如 AB 对 BE，ΓΔ 也对 ΖΔ。 因为，如果正如 AB 对 BE，ΓΔ 不对 ΔΖ，那么正如 AB 对 BE，ΓΔ 将或者对某个小于 ΔΖ 的量，或者对某个大于 ΔΖ 的量。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ὥστε καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται.
首先，设它对较小的量 ΔH。 并且，既然正如 AB 对 BE，ΓΔ 也对 ΔH，所以合成的量是成比例的；因此分离的量也将成比例。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ. μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ·
因此，正如 AE 对 EB，ΓH 也对 HΔ。 然而也假设了，正如 AE 对 EB，ΓΖ 也对 ΖΔ。 因此，正如 ΓH 对 HΔ，ΓΖ 也对 ΖΔ。 而第一量 ΓH 大于第三量 ΓΖ；因此，第二量 HΔ 也大于第四量 ΖΔ。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
但它也较小；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον· πρὸς αὐτὸ ἄρα.
因此，正如 AB 对 BE，ΓΔ 不对小于 ΖΔ 的量。 同样，我们也将证明，它也不对较大的量；因此是对它本身。
ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果分离的量成比例，那么合成的量也将成比例；这就是所要证明的。