§5.prop.15τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
部分は、対応して取られた、同様に等倍されたものに対して、同じ比を持つ。
ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ·
なぜなら、AB を Γ の、ΔΕ を Ζ の等倍数とせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ·
私は言う、Γ の Ζ に対する比は、 ΑΒ の ΔΕ に対する比と同じであると。 なぜなら、AB が Γ の、ΔΕ を Ζ の等倍数であるから、AB の中に Γ に等しい大きさがあるのと同数だけ、ΔΕ の中にも Ζ に等しい大きさがある。 そこで、AB を Γ に等しい部分 ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ に、ΔΕ を Ζ に等しい部分 ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
すると、ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ の個数は ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ の個数に等しい。 そして、ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ は互いに等しく、 ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ も互いに等しいので、ΑΗ の ΔΚ に対する比は、ΗΘ の ΚΛ に対する比、および ΘΒ の ΛΕ に対する比と同じである。 したがって、前項の1つの後項の1つに対する比は、すべての前項のすべての後項に対する比と同じであろう。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ·
したがって、ΑΗ の ΔΚ に対する比は、 ΑΒ の ΔΕ に対する比と同じである。 ところで、ΑΗ は Γ に等しく、ΔΚ は Ζ に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα·
したがって、Γ の Ζ に対する比は、ΑΒ の ΔΕ に対する比と同じである。 したがって、部分は、対応して取られた、同様に等倍されたものに対して、同じ比を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.16ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται.
もし4つの大きさが比例するなら、交互にしても比例するであろう。
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
4つの比例する大きさを Α, Β, Γ, Δ とし、Α の Β に対する比は Γ の Δ に対する比と同じとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
私は言う、交互にしても比例する、すなわち、Α の Γ に対する比は Β の Δ に対する比と同じであるであろうと。 なぜなら、Α, Β の等倍数 Ε, Ζ を取り、Γ, Δ の他の任意にとった等倍数 Η, Θ を取れ。 そして、Ε が Α の、Ζ が Β の等倍数であり、部分は同じように等倍されたものに対して同じ比を持つので、Α の Β に対する比は、Ε の Ζ に対する比と同じである。 ところで、Α の Β に対する比は、Γ の Δ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
したがって、Γ の Δ に対する比も、Ε の Ζ に対する比と同じである。 また、Η, Θ は Γ, Δ の等倍数であるから、Γ の Δ に対する比は、Η の Θ に対する比と同じである。 ところで、Γ の Δ に対する比は、Ε の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、Ε の Ζ に対する比も、Η の Θ に対する比と同じである。 ところで、もし4つの大きさが比例し、第一が第三より大きければ、第二も第四より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、もし Ε が Η より大きければ、Ζ も Θ より大きく、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして、Ε, Ζ は Α, Β の等倍数であり、 Η, Θ は Γ, Δ の他の任意にとった等倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται·
したがって、Α の Γ に対する比は、Β の Δ に対する比と同じである。 したがって、もし4つの大きさが比例するなら、交互にしても比例するであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。