§5.prop.13ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον.
如果第一量对第二量的比等于第三量对第四量的比，而第三量对第四量的比大于第五量对第六量的比，那么第一量对第二量的比也大于第五量对第六量的比。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ. λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλήφθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν· καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
因为，设第一量 A 对第二量 B 的比等于第三量 Γ 对第四量 Δ 的比，而第三量 Γ 对第四量 Δ 的比大于第五量 E 对第六量 Z 的比。 我说，第一量 A 对第二量 B 的比也大于第五量 E 对第六量 Z 的比。 因为，既然存在 Γ, E 的某些同倍量，以及 Δ, Z 的另一些任意取的同倍量，使得 Γ 的倍量大于 Δ 的倍量，而 E 的倍量不大于 Z 的倍量，设取这些倍量，并设 H, Θ 为 Γ, E 的同倍量，K, Λ 为 Δ, Z 的另一些任意取的同倍量，使得 H 大于 K，而 Θ 不大于 Λ；并且设 M 对 A 的倍数与 H 对 Γ 的倍数相同，N 对 B 的倍数与 K 对 Δ 的倍数相同。 且因为 A 对 B 的比等于 Γ 对 Δ 的比，又已取 A, Γ 的同倍量 M, H，以及 B, Δ 的另一些任意取的同倍量 N, K，所以若 M 大于 N，则 H 也大于 K，若相等则相等，若小于则小于。
ὑπερέχει δὲ τὸ Η τοῦ Κ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει·
但是 H 大于 K；因此 M 也大于 N。
καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
而 Θ 对 Λ 并不大于；且 M, Θ 是 A, E 的同倍量，N, Λ 是 B, Z 的另一些任意取的同倍量；因此 A 对 B 的比大于 E 对 Z 的比。
τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果第一量对第二量的比等于第三量对第四量的比，而第三量对第四量的比大于第五量对第六量的比，那么第一量对第二量的比也大于第五量对第六量的比；这就是所要证明的。
§5.prop.14ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
如果第一量对第二量的比等于第三量对第四量的比，且第一量大于第三量，那么第二量也将大于第四量，若相等则相等，若小于则小于。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γ·
因为，设第一量 A 对第二量 B 的比等于第三量 Γ 对第四量 Δ 的比，且 A 大于 Γ；我说，B 也大于 Δ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
因为，既然 A 大于 Γ，而 B 是另一些任意取的量，所以 A 对 B 的比大于 Γ 对 B 的比。 而 A 对 B 的比等于 Γ 对 Δ 的比；因此 Γ 对 Δ 的比也大于 Γ 对 B 的比。
καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β· ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
然而，同一量对其有较大比的那个量较小；因此 Δ 小于 B；所以 B 大于 Δ。 同理，我们也可以证明，如果 A 等于 Γ，则 B 也等于 Δ，如果 A 小于 Γ，则 B 也小于 Δ。 因此，如果第一量对第二量的比等于第三量对第四量的比，且第一量大于第三量，那么第二量也将大于第四量，若相等则相等，若小于则小于；这就是所要证明的。