§5.prop.15τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
부분들은 대응하도록 취해진 같은 배수들에 대하여 같은 비를 가진다.
ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ·
왜냐하면 AB는 Γ의 같은 배수이고 ΔE는 Ζ의 같은 배수라 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ·
나는 Γ가 Ζ에 대하여 가지는 비는 AB가 ΔE에 대하여 가지는 비와 같다고 말한다. 왜냐하면 AB는 Γ의 같은 배수이고 ΔE는 Ζ의 같은 배수이므로, AB 안에 Γ와 같은 크기들이 있는 수만큼 ΔE 안에도 Ζ와 같은 크기들이 있다. 그러므로 AB를 Γ와 같은 부분들인 AH, HΘ, ΘB로 분할하고, ΔE를 Ζ와 같은 부분들인 ΔK, KΛ, ΛE로 분할하자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ ΛΕ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그러면 AH, HΘ, ΘB의 개수는 ΔK, KΛ, ΛE의 개수와 같을 것이다. 그리고 AH, HΘ, ΘB는 서로 같고, ΔK, KΛ, ΛE도 서로 같으므로, AH가 ΔK에 대하여 가지는 비는 HΘ가 KΛ에 대하여 가지는 비와 같고, ΘB가 ΛE에 대하여 가지는 비와도 같다. 그러므로 전항들 중 하나가 후항들 중 하나에 대하여 가지는 비는 모든 전항들이 모든 후항들에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ·
그러므로 AH가 ΔK에 대하여 가지는 비는 AB가 ΔE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AH는 Γ와 같고 ΔK는 Ζ와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.
τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα·
그러므로 Γ가 Ζ에 대하여 가지는 비는 AB가 ΔE에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 부분들은 대응하도록 취해진 같은 배수들에 대하여 같은 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.16ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται.
만일 네 크기가 비례한다면, 교대로도 비례할 것이다.
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
네 비례하는 크기들을 A, B, Γ, Δ라 하고, A가 B에 대하여 가지는 비는 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ·
나는 교대로도 비례하여, A가 Γ에 대하여 가지는 비는 B가 Δ에 대하여 가지는 비와 같을 것이라고 말한다. 왜냐하면 A, B의 같은 배수들인 E, Z를 취하고, Γ, Δ의 임의로 택한 다른 같은 배수들인 H, Θ를 취하자. 그리고 E는 A의 같은 배수이고 Z는 B의 같은 배수이며, 부분들은 똑같이 곱해진 배수들과 같은 비를 가지므로, A가 B에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 A가 B에 대하여 가지는 비는 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
그러므로 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 다시, H, Θ는 Γ, Δ의 같은 배수들이므로, Γ가 Δ에 대하여 가지는 비는 H가 Θ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 E가 Z에 대하여 가지는 비는 H가 Θ에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 만일 네 크기가 비례하고 첫째가 셋째보다 크다면 둘째도 넷째보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 만일 E가 H보다 크다면 Z도 Θ보다 클 것이며, 같으면 같고, 작으면 작을 것이다.
καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 E, Z는 A, B의 같은 배수들이고, H, Θ는 Γ, Δ의 임의로 택한 다른 같은 배수들이므로, A가 Γ에 대하여 가지는 비는 B가 Δ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται·
그러므로 만일 네 크기가 비례한다면, 교대로도 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.