§4.prop.12περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
在给定的圆外切一个等边且等角的五边形。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ 2 περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.
设给定的圆为ABΓΔE；那么，必须在圆ABΓΔE外切一个等边且等角的五边形。
νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γωνιῶν σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ περιφερείας· καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ, Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΗ, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ.
καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν.
设想内接五边形的角的顶点为A、B、Γ、Δ、E，使得圆弧AB、BΓ、ΓΔ、ΔE、EA相等；并通过A、B、Γ、Δ、E画出圆的切线ΗΘ、ΘΚ、ΚΛ、ΛΜ、ΜΗ，并取圆ABΓΔE的圆心Ζ，且连接ΖB、ΖΚ、ΖΓ、ΖΛ、ΖΔ。 因为直线ΚΛ在Γ处与圆ABΓΔE相切，且从圆心Ζ到在Γ处的切点连接了ΖΓ，所以，ΖΓ垂直于ΚΛ；所以，在Γ处的每一个角都是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
由于同样的原因，在点B、Δ处的角也是直角。
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἐστιν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον.
因为角ΖΓΚ是直角，所以，在ΖΚ上的正方形等于在ΖΓ、ΓΚ上的正方形之和。 由于同样的原因，在ΖΚ上的正方形也等于在ΖB、BΚ上的正方形之和；使得在ΖΓ、ΓΚ上的正方形等于在ΖB、BΚ上的正方形，其中在ΖΓ上的正方形等于在ΖB上的正方形；所以，剩余的在ΓΚ上的正方形等于在BΚ上的正方形。
ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΚ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ ἴση· γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ· διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ· ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΛ ἴση.
所以，BΚ等于ΓΚ。 因为ΖB等于ΖΓ，且ΖΚ是公共的，所以，BZ、ΖΚ这两条直线分别等于ΓΖ、ΖΚ这两条直线；且底边BΚ等于底边ΓΚ；所以，角BZK等于角ΚΖΓ，角BΚΖ等于角ΖΚΓ；所以，角BZΓ是角ΚΖΓ的两倍，角BΚΓ是角ΖΚΓ的两倍。 由于同样的原因，角ΓΖΔ是角ΓΖΛ的两倍，角ΔΛΓ是角ΖΛΓ的两倍。 因为圆弧BΓ等于圆弧ΓΔ，所以，角BZΓ也等于角ΓΖΔ。 并且角BZΓ是角ΚΖΓ的两倍，角ΔΖΓ是角ΛΖΓ的两倍；所以，角 ΚΖΓ也等于角ΛΖΓ；并且角ΖΓΚ也等于角ΖΓΛ。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ, ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα τῇ ΓΛ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ.
那么，有ΖΚΓ、ΖΛΓ两个三角形，它们有两个角分别等于两个角，且有一条边分别等于一条边，即它们的公共边ΖΓ；所以，它们其余的边也分别等于其余的边，且其余的角等于其余的角；所以，直线ΚΓ等于ΓΛ，且角ΖΚΓ等于角ΖΛΓ。 因为ΚΓ等于ΓΛ，所以，ΚΛ是ΚΓ的两倍。 由于同样的原因，也将证明ΘΚ是BΚ的两倍。
καί ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση.
并且BΚ等于ΚΓ；所以，ΘΚ也等于ΚΛ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
同样地，也将证明ΘΗ、ΗΜ、ΜΛ中的每一个也分别等于ΘΚ、ΚΛ中的每一个；所以，五边形ΗΘΚΛΜ是等边的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
我再说，它也是等角的。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση.
因为角ΖΚΓ等于角ΖΛΓ，并且已被证明角ΘΚΛ是角ΖΚΓ的两倍，角 ΚΛΜ是角ΖΛΓ的两倍；所以，角ΘΚΛ也等于角ΚΛΜ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, ΚΛΜ ἴση· αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
同样地，也将证明角ΚΘΗ、ΘΗΜ、ΗΜΛ中的每一个也分别等于角ΘΚΛ、ΚΛΜ中的每一个；所以，ΗΘΚ、ΘΚΛ、ΚΛΜ、ΛΜΗ、ΜΗΘ这五个角互相相等。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.
所以，五边形ΗΘΚΛΜ是等角的。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον.
并且它也被证明是等边的，且已外切于圆ABΓΔE。
· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
；这就是所要做的事。